Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Est-il correct de dire qu'un algorithme en O(n²) est aussi en O(n³) ?

  1. AOui, car le grand O est une borne supérieure et n² ne croît pas plus vite que n³
  2. BOui, mais seulement si n est inférieur à 100
  3. CNon, car le grand O doit toujours donner le taux de croissance exact de la fonction
  4. DNon, car n³ est plus petit que n² pour n grand
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Pourquoi une recherche dans une table de hachage est-elle en O(1) en moyenne mais en O(n) dans le pire cas ?

  1. AL'accès aux tableaux est en O(n)
  2. BDe nombreuses clés peuvent entrer en collision dans le même compartiment
  3. CLes fonctions de hachage sont lentes
  4. DLes clés doivent d'abord être triées
3.Structures de donnéesMoyen

Quelle structure de données est utilisée par le parcours en profondeur (DFS) dans sa version itérative ?

  1. AUniquement une table de hachage
  2. BUne file
  3. CUn tas
  4. DUne pile
4.Structures de donnéesDifficile

Quelle propriété un arbre rouge-noir doit-il respecter ?

  1. ATout nœud rouge doit avoir des enfants rouges, si bien que les nœuds rouges forment toujours des chaînes ininterrompues jusqu'aux feuilles
  2. BLa racine doit être rouge
  3. CTout chemin d'un nœud vers ses feuilles descendantes contient le même nombre de nœuds noirs
  4. DChaque nœud doit être rouge
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 4 sommets de degré 3, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

4 × deg 3
L =
6.Théorie des graphesDifficile
8511849143ABCDEFG

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F
d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Oui, car le grand O est une borne supérieure et n² ne croît pas plus vite que n³

Pourquoi c'est la réponse

Le grand O est une borne supérieure : l'affirmation est vraie mais pas serrée ; Θ(n²) indique le taux de croissance exact.

Réponse

A · Oui, car le grand O est une borne supérieure et n² ne croît pas plus vite que n³
2.Algorithmes et complexité

Réponse: B · De nombreuses clés peuvent entrer en collision dans le même compartiment

Pourquoi c'est la réponse

Avec une bonne fonction de hachage et un facteur de charge adapté, les compartiments restent courts en moyenne ; un hachage malveillant ou médiocre peut placer toutes les clés dans un seul compartiment.

Réponse

B · De nombreuses clés peuvent entrer en collision dans le même compartiment
3.Structures de données

Réponse: D · Une pile

Pourquoi c'est la réponse

Le DFS explore aussi profondément que possible et utilise naturellement une pile (ou la pile d'appels de la récursion) ; le BFS utilise une file.

Réponse

D · Une pile
4.Structures de données

Réponse: C · Tout chemin d'un nœud vers ses feuilles descendantes contient le même nombre de nœuds noirs

Pourquoi c'est la réponse

Règles rouge-noir : les nœuds sont rouges ou noirs, la racine est noire, les nœuds rouges ont des enfants noirs et tous les chemins ont la même hauteur noire, ce qui maintient la hauteur ≤ 2 log₂(n + 1).

Réponse

C · Tout chemin d'un nœud vers ses feuilles descendantes contient le même nombre de nœuds noirs
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 6

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 12 = 2(L + 4) − 2
L = 6

Réponse

L = 6

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 21

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 8
B (8): D: 13, G: 17
D (13): F: 21
G (17): C: 18, E: 20
C (18)
E (20)
F (21)

Plus court chemin

A → B → D → F
d(F) = 21

Réponse

d(F) = 21

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