Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

La récurrence T(n) = 2T(n/2) + O(n) a pour solution :

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle est la complexité temporelle de : pour i = 1 à n : pour (j = i ; j ≤ n ; j = j + i) faire un travail O(1) ?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n √n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
3.Structures de donnéesMoyen

Que se passe-t-il lorsqu'une table de hachage est rehachée après que son facteur de charge a dépassé un seuil ?

  1. ASeules les clés en collision sont déplacées dans une nouvelle liste de débordement à la fin de la table
  2. BLes clés existantes sont triées sur place
  3. CLes clés les plus anciennes sont supprimées pour faire de la place
  4. DUne table plus grande est allouée et chaque clé y est réinsérée
4.Structures de donnéesDifficile

La complexité temporelle de decrease-key dans un tas binaire (la position de l'élément étant connue) est :

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 18 sommets et 27 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 18|E| = 27
k =
6.Théorie des graphesDifficile
915661392834ABCDEFG

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(D) du plus court chemin de A à D dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : D
d(D) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · O(n log n)

Pourquoi c'est la réponse

D'après le théorème maître (a = 2, b = 2, f(n) = n), T(n) = Θ(n log n).

Réponse

B · O(n log n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · O(n log n)

Pourquoi c'est la réponse

Le total vaut n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, et le nombre harmonique Hn est Θ(log n).

Réponse

A · O(n log n)
3.Structures de données

Réponse: D · Une table plus grande est allouée et chaque clé y est réinsérée

Pourquoi c'est la réponse

Comme l'indice est calculé modulo la taille de la table, toutes les clés doivent être rehachées dans la nouvelle table, plus grande ; en doublant la taille, le coût reste O(1) amorti.

Réponse

D · Une table plus grande est allouée et chaque clé y est réinsérée
4.Structures de données

Réponse: C · O(log n)

Pourquoi c'est la réponse

Après la diminution de la clé, l'élément remonte (sift-up) au plus de la hauteur du tas. Les tas de Fibonacci atteignent un decrease-key en O(1) amorti.

Réponse

C · O(log n)
5.Théorie des graphes

Réponse: k = 10

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

18 − 1 = 17

Arêtes à retirer

k = 27 − 17 = 10

Réponse

k = 10
6.Théorie des graphes

Réponse: d(D) = 15

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 9, C: 15
B (9): D: 15, G: 12
G (12)
C (15): E: 28
D (15): E: 24, F: 17
F (17)
E (24)

Plus court chemin

A → B → D
d(D) = 15

Réponse

d(D) = 15

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