Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Que mesure l'analyse amortie ?

  1. ALe coût espéré sur des entrées aléatoires
  2. BLe coût de l'unique opération la plus chère, où qu'elle se trouve dans la suite
  3. CLe coût d'un algorithme sur la meilleure entrée
  4. DLe coût moyen par opération sur une suite d'opérations de pire cas
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Les plus courts chemins simples peuvent être trouvés en temps polynomial. Que sait-on de la recherche du plus long chemin simple entre deux sommets dans un graphe quelconque ?

  1. AC'est NP-difficile
  2. BC'est toujours résoluble en O(V + E)
  3. CC'est indécidable
  4. DOn peut le résoudre avec l'algorithme de Dijkstra en prenant l'opposé des poids
3.Structures de donnéesMoyen

Comment trouve-t-on la clé minimale dans un arbre binaire de recherche ?

  1. AOn regarde uniquement la racine
  2. BOn visite toutes les feuilles et on les compare
  3. COn suit les enfants droits depuis la racine jusqu'à ce qu'il n'y en ait plus
  4. DOn suit les enfants gauches depuis la racine jusqu'à ce qu'il n'y en ait plus
4.Structures de donnéesDifficile

Pourquoi les bases de données utilisent-elles souvent des arbres B+ plutôt que de simples B-arbres pour leurs index ?

  1. ATous les enregistrements sont dans des feuilles chaînées, ce qui rend les parcours d'intervalle efficaces
  2. BLes arbres B+ ne stockent les données que dans la racine
  3. CLes arbres B+ n'ont pas besoin d'être équilibrés
  4. DLes arbres B+ utilisent des nœuds internes binaires, ce qui réduit le nombre de lectures sur disque
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 3 sommets de degré 3, 4 sommets de degré 4, 3 sommets de degré 5, 3 sommets de degré 2, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

3 × deg 34 × deg 43 × deg 53 × deg 2
L =
6.Théorie des graphesDifficile
8179101486ABCDEF

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F
d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Le coût moyen par opération sur une suite d'opérations de pire cas

Pourquoi c'est la réponse

L'analyse amortie répartit le coût des opérations rares et coûteuses sur de nombreuses opérations bon marché, ce qui donne une moyenne garantie pour toute suite.

Réponse

D · Le coût moyen par opération sur une suite d'opérations de pire cas
2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · C'est NP-difficile

Pourquoi c'est la réponse

Un plus long chemin simple de longueur V − 1 est un chemin hamiltonien, problème NP-complet ; sur les graphes orientés acycliques, il est cependant résoluble en temps linéaire.

Réponse

A · C'est NP-difficile
3.Structures de données

Réponse: D · On suit les enfants gauches depuis la racine jusqu'à ce qu'il n'y en ait plus

Pourquoi c'est la réponse

Le nœud le plus à gauche n'a aucune clé plus petite dans l'arbre, c'est donc le minimum ; le coût est proportionnel à la hauteur.

Réponse

D · On suit les enfants gauches depuis la racine jusqu'à ce qu'il n'y en ait plus
4.Structures de données

Réponse: A · Tous les enregistrements sont dans des feuilles chaînées, ce qui rend les parcours d'intervalle efficaces

Pourquoi c'est la réponse

Dans un arbre B+, les nœuds internes servent uniquement à guider la recherche et les feuilles sont chaînées dans l'ordre des clés ; une requête par intervalle trouve la première clé puis parcourt les feuilles.

Réponse

A · Tous les enregistrements sont dans des feuilles chaînées, ce qui rend les parcours d'intervalle efficaces
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 22

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 46 = 2(L + 13) − 2
L = 22

Réponse

L = 22

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 22

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 8, C: 1
C (1)
B (8): D: 17, E: 14
E (14): F: 22
D (17)
F (22)

Plus court chemin

A → B → E → F
d(F) = 22

Réponse

d(F) = 22

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