Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Pourquoi la programmation dynamique n'apporte-t-elle aucune accélération réelle au tri fusion ?

  1. ALa programmation dynamique ne fonctionne que sur les problèmes de graphes, pas sur les tableaux
  2. BSes sous-problèmes ne se chevauchent pas, il n'y a donc rien à réutiliser
  3. CLe tri fusion n'a pas de structure récursive
  4. DLe tri fusion est déjà en O(n)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Le problème du sac à dos 0/1 résolu par programmation dynamique prend un temps O(nW). Pourquoi dit-on qu'il est pseudo-polynomial ?

  1. AParce que l'algorithme est probabiliste et que son temps d'exécution varie à chaque entrée
  2. BParce que n est toujours petit
  3. CW est un nombre, donc le temps est exponentiel en le nombre de bits utilisés pour écrire W
  4. DParce qu'il ne fonctionne que pour W = 0
3.Structures de donnéesMoyen

Combien de temps prend la recherche d'un mot de longueur L dans un trie à alphabet fixe ?

  1. AO(n), où n est le nombre de mots
  2. BO(L), quel que soit le nombre de mots stockés
  3. CO(L × n)
  4. DO(log n), où n est le nombre de mots
4.Structures de donnéesDifficile

Un arbre de segments (segment tree) est généralement utilisé pour :

  1. ARépondre à des requêtes sur intervalles (comme des sommes d'intervalles) et à des mises à jour en O(log n)
  2. BStocker les arêtes d'un graphe
  3. CImplémenter une pile
  4. DTrier des chaînes par ordre alphabétique en stockant chaque préfixe dans un nœud distinct de l'arbre
5.Théorie des graphesMoyen

Combien de circuits hamiltoniens différents H le graphe complet K8 a-t-il ? Les circuits qui ne diffèrent que par le sommet de départ ou le sens comptent comme un seul.

K8
H =
6.Théorie des graphesDifficile
10718495141611ABCDEF

Trouvez le poids total W d’un arbre couvrant minimal du graphe pondéré.

|V| = 6|E| = 9
W =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Ses sous-problèmes ne se chevauchent pas, il n'y a donc rien à réutiliser

Pourquoi c'est la réponse

Les moitiés du tri fusion sont disjointes et chacune est résolue une seule fois ; la PD n'aide que lorsque les sous-problèmes se répètent, comme pour Fibonacci.

Réponse

B · Ses sous-problèmes ne se chevauchent pas, il n'y a donc rien à réutiliser
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · W est un nombre, donc le temps est exponentiel en le nombre de bits utilisés pour écrire W

Pourquoi c'est la réponse

Le temps d'exécution est polynomial en la valeur de W mais exponentiel en sa longueur (log W bits) ; le sac à dos 0/1 est NP-complet.

Réponse

C · W est un nombre, donc le temps est exponentiel en le nombre de bits utilisés pour écrire W
3.Structures de données

Réponse: B · O(L), quel que soit le nombre de mots stockés

Pourquoi c'est la réponse

Chaque caractère sélectionne un enfant, donc une recherche prend L étapes quel que soit le nombre de mots contenus dans le trie.

Réponse

B · O(L), quel que soit le nombre de mots stockés
4.Structures de données

Réponse: A · Répondre à des requêtes sur intervalles (comme des sommes d'intervalles) et à des mises à jour en O(log n)

Pourquoi c'est la réponse

Un arbre de segments stocke des agrégats pour des intervalles et permet des requêtes sur intervalles et des mises à jour ponctuelles en temps O(log n).

Réponse

A · Répondre à des requêtes sur intervalles (comme des sommes d'intervalles) et à des mises à jour en O(log n)
5.Théorie des graphes

Réponse: H = 2520

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Compter

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Réponse

H = 2520
6.Théorie des graphes

Réponse: W = 39

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

BD (4): prise
DE (5): prise
AC (7): prise
CE (9): prise
AB (10): sautée, ferme un cycle
BE (11): sautée, ferme un cycle
DF (14): prise

Poids total

W = 4 + 5 + 7 + 9 + 14 = 39

Réponse

W = 39

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