Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Que calcule l'algorithme de Floyd-Warshall, et en combien de temps ?

  1. ALes plus courts chemins depuis un sommet source vers tous les autres en O(V + E)
  2. BUn ordre topologique en O(V²)
  3. CUn arbre couvrant de poids minimal en O(E log V)
  4. DLes plus courts chemins entre toutes les paires de sommets en O(V³)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quels sont les coûts en temps et en espace du calcul du n-ième nombre de Fibonacci avec une boucle qui ne conserve que les deux dernières valeurs ?

  1. AO(2ⁿ) en temps et O(1) en espace
  2. BO(n) en temps et O(n) en espace
  3. CO(n) en temps et O(1) en espace
  4. DO(log n) en temps et O(n) en espace
3.Structures de donnéesMoyen

Dans une table de hachage à adressage ouvert, quel est le facteur de charge maximal possible ?

  1. A0,5
  2. B2
  3. CIl n'y a pas de maximum
  4. D1
4.Structures de donnéesDifficile

Dans l'algorithme de Kruskal pour l'arbre couvrant de poids minimal, à quoi sert la structure union-find ?

  1. AÀ vérifier si les deux extrémités d'une arête sont déjà reliées
  2. BÀ choisir le sommet de départ
  3. CÀ stocker la distance actuelle de chaque sommet depuis la source pendant le parcours
  4. DÀ trier les arêtes par poids
5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 17 sommets et 25 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 17|E| = 25
k =
6.Théorie des graphesDifficile
39641311121213ABCDEFG

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F
d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Les plus courts chemins entre toutes les paires de sommets en O(V³)

Pourquoi c'est la réponse

Floyd-Warshall est un algorithme de programmation dynamique qui autorise tour à tour chaque sommet comme point intermédiaire, en temps O(V³).

Réponse

D · Les plus courts chemins entre toutes les paires de sommets en O(V³)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · O(n) en temps et O(1) en espace

Pourquoi c'est la réponse

Chaque étape n'a besoin que des deux valeurs précédentes : la table de la méthode ascendante peut donc être remplacée par deux variables.

Réponse

C · O(n) en temps et O(1) en espace
3.Structures de données

Réponse: D · 1

Pourquoi c'est la réponse

Avec l'adressage ouvert, toutes les clés sont stockées dans la table elle-même, donc n ne peut pas dépasser m ; le chaînage séparé peut avoir un facteur de charge supérieur à 1.

Réponse

D · 1
4.Structures de données

Réponse: A · À vérifier si les deux extrémités d'une arête sont déjà reliées

Pourquoi c'est la réponse

Find indique si les deux extrémités sont dans la même composante ; sinon, l'arête est ajoutée et union fusionne les composantes.

Réponse

A · À vérifier si les deux extrémités d'une arête sont déjà reliées
5.Théorie des graphes

Réponse: k = 9

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

17 − 1 = 16

Arêtes à retirer

k = 25 − 16 = 9

Réponse

k = 9
6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 19

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 3, C: 9
B (3): D: 7, G: 4
G (4): C: 7
C (7): E: 20
D (7): E: 18, F: 19
E (18)
F (19)

Plus court chemin

A → B → D → F
d(F) = 19

Réponse

d(F) = 19

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