Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main: Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graphe régulier: |E| = n·k/2
Arbre et forêt: |E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans K_n: (n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L: (Mᴸ)_ij

Méthode

Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la solution de la récurrence T(n) = T(n − 1) + O(n) ?

AO(n²)
BO(n)
CO(n log n)
DO(2ⁿ)

2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quels sont les coûts en temps et en espace du calcul du n-ième nombre de Fibonacci avec une boucle qui ne conserve que les deux dernières valeurs ?

AO(n) en temps et O(n) en espace
BO(n) en temps et O(1) en espace
CO(log n) en temps et O(n) en espace
DO(2ⁿ) en temps et O(1) en espace

3.Structures de donnéesMoyen

Un trie (arbre de préfixes) est particulièrement efficace pour :

ALe tri de nombres
BLa recherche des plus courts chemins
CLe stockage de matrices
DLes recherches par préfixe, comme l'autocomplétion

4.Structures de donnéesDifficile

Quelle paire de parcours détermine toujours un arbre binaire unique à clés distinctes ?

APar niveaux seul
BPréfixe seul
CPréfixe et postfixe
DPréfixe et infixe

5.Théorie des graphesMoyen

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 7|E| = 9

1Circuit eulérien
2Chemin eulérien, pas de circuit
3ni l’une ni l’autre

6.Théorie des graphesDifficile

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F

d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · O(n²)

Pourquoi c'est la réponse

Le travail totalise environ n² / 2 ; c'est la récurrence du tri par sélection ou du tri rapide avec le pire pivot.

Réponse

A · O(n²)

2.Algorithmes et complexité

Réponse: B · O(n) en temps et O(1) en espace

Pourquoi c'est la réponse

Chaque étape n'a besoin que des deux valeurs précédentes : la table de la méthode ascendante peut donc être remplacée par deux variables.

Réponse

B · O(n) en temps et O(1) en espace

3.Structures de données

Réponse: D · Les recherches par préfixe, comme l'autocomplétion

Pourquoi c'est la réponse

Les tries stockent les chaînes caractère par caractère le long de chemins, donc les recherches et les requêtes par préfixe prennent un temps proportionnel à la longueur de la clé.

Réponse

D · Les recherches par préfixe, comme l'autocomplétion

4.Structures de données

Réponse: D · Préfixe et infixe

Pourquoi c'est la réponse

Le parcours préfixe donne la racine, et sa position dans la séquence infixe sépare les sous-arbres gauche et droit ; préfixe et postfixe sont ambigus lorsqu'un nœud a un seul enfant.

Réponse

D · Préfixe et infixe

5.Théorie des graphes

Réponse: ni l’une ni l’autre

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; K_n en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 1, deg(G) = 3

Sommets impairs

A, D, F, G → 4

ni l’une ni l’autre

Réponse

ni l’une ni l’autre

6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 10

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): C: 5

C (5): B: 20, E: 9, G: 9

E (9): D: 16, F: 10

G (9)

F (10)

D (16): B: 19

B (19)

Plus court chemin

A → C → E → F

d(F) = 10

Réponse

d(F) = 10

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