Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main: Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graphe régulier: |E| = n·k/2
Arbre et forêt: |E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans K_n: (n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L: (Mᴸ)_ij

Méthode

Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Un algorithme glouton :

AFait le meilleur choix local à chaque étape
BEssaie toutes les solutions possibles
CDonne toujours la solution optimale
DN'utilise que la récursivité

2.Algorithmes et complexitéDifficile

D'après le théorème maître, T(n) = 8T(n/2) + O(n²) a pour solution :

AΘ(n log n)
BΘ(n² log n)
CΘ(n³)
DΘ(n²)

3.Structures de donnéesMoyen

Pourquoi un tas binaire peut-il être stocké dans un tableau sans aucun pointeur ?

AToutes les clés d'un tas sont égales
BLes tableaux maintiennent automatiquement les clés triées, donc aucun pointeur n'est nécessaire
CC'est un arbre binaire complet, donc les positions suivent des formules d'indice simples
DLes tas ne contiennent jamais plus de 100 éléments

4.Structures de donnéesDifficile

Dans une table de hachage à adressage ouvert, pourquoi la suppression se fait-elle souvent avec un marqueur « pierre tombale » (tombstone) ?

ALes clés supprimées doivent être conservées pour toujours pour des raisons de sécurité, si bien que les emplacements ne peuvent jamais être réutilisés
BLes pierres tombales accélèrent le hachage
CCela rend la table triée
DVider l'emplacement pourrait interrompre la séquence de sondage d'autres clés

5.Théorie des graphesMoyen

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 6|E| = 7

1Circuit eulérien
2Chemin eulérien, pas de circuit
3ni l’une ni l’autre

6.Théorie des graphesDifficile

L’algorithme de Prim construit un arbre couvrant minimal en partant du sommet A. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 3.

départ : Ak = 3

1arête AB
2arête AC
3arête BC
4arête BD
5arête CE
6arête DE
7arête BE

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Fait le meilleur choix local à chaque étape

Pourquoi c'est la réponse

Les algorithmes gloutons sont rapides et optimaux pour certains problèmes (par ex. Dijkstra, codage de Huffman), mais pas en général (par ex. le rendu de monnaie avec certains systèmes de pièces).

Réponse

A · Fait le meilleur choix local à chaque étape

2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Θ(n³)

Pourquoi c'est la réponse

log₂ 8 = 3, et n² croît plus lentement que n³, donc les feuilles dominent : Θ(n³).

Réponse

C · Θ(n³)

3.Structures de données

Réponse: C · C'est un arbre binaire complet, donc les positions suivent des formules d'indice simples

Pourquoi c'est la réponse

La complétude signifie qu'il n'y a pas de trous, donc les enfants de l'indice i sont toujours en 2i + 1 et 2i + 2.

Réponse

C · C'est un arbre binaire complet, donc les positions suivent des formules d'indice simples

4.Structures de données

Réponse: D · Vider l'emplacement pourrait interrompre la séquence de sondage d'autres clés

Pourquoi c'est la réponse

Si un emplacement supprimé devenait vide, les recherches ultérieures pourraient s'arrêter trop tôt et manquer des clés placées plus loin dans la chaîne de sondage.

Réponse

D · Vider l'emplacement pourrait interrompre la séquence de sondage d'autres clés

5.Théorie des graphes

Réponse: ni l’une ni l’autre

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; K_n en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 1, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Sommets impairs

A, C, D, E → 4

ni l’une ni l’autre

Réponse

ni l’une ni l’autre

6.Théorie des graphes

Réponse: arête BD

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Prim

1. AC (5)

2. BC (11)

3. BD (8)

4. CE (12)

numéro de l’arête 3

Réponse

arête BD

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