Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

La borne inférieure du tri par comparaisons dans le pire cas est :

  1. AΩ(n)
  2. BΩ(log n)
  3. CΩ(n²)
  4. DΩ(n log n)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

22n est-il dans O(2ⁿ) ?

  1. ANon, car 22n croît plus lentement que 2ⁿ
  2. BOui, car les deux sont exponentiels
  3. COui, car les facteurs constants dans l'exposant sont toujours ignorés en grand O
  4. DNon, car 22n = 4ⁿ et 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ croît sans borne
3.Structures de donnéesMoyen

Un nœud d'un arbre binaire de recherche possède un sous-arbre droit. Où se trouve son successeur dans l'ordre infixe ?

  1. AAu nœud le plus à droite de son sous-arbre gauche
  2. BÀ son parent, toujours
  3. CÀ son enfant droit, toujours
  4. DAu nœud le plus à gauche de son sous-arbre droit
4.Structures de donnéesDifficile

Dans un tampon circulaire, front == rear peut signifier vide ou plein. Quelle est une manière courante de les distinguer ?

  1. AStocker front et rear dans la même variable
  2. BChoisir une taille de tampon égale à une puissance de deux
  3. CTenir un compteur d'éléments séparé, ou toujours laisser une case inutilisée
  4. DToujours vider le tampon dès que front est égal à rear, si bien que l'état est vide
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDEFGCircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 7|E| = 11
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
12519162014ABCDE

L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 2 ; les arêtes sautées ne comptent pas.

k = 2
  1. 1arête AB
  2. 2arête AC
  3. 3arête BC
  4. 4arête BD
  5. 5arête CE
  6. 6arête DE
  7. 7arête BE

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Ω(n log n)

Pourquoi c'est la réponse

Tout tri par comparaisons nécessite au moins log₂(n!) ≈ n log n comparaisons dans le pire cas. Le tri par dénombrement fait mieux car il n'effectue pas de comparaisons.

Réponse

D · Ω(n log n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Non, car 22n = 4ⁿ et 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ croît sans borne

Pourquoi c'est la réponse

Une constante ajoutée à l'exposant donne un facteur constant, mais une constante qui multiplie l'exposant change la base et le taux de croissance.

Réponse

D · Non, car 22n = 4ⁿ et 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ croît sans borne
3.Structures de données

Réponse: D · Au nœud le plus à gauche de son sous-arbre droit

Pourquoi c'est la réponse

Toutes les clés plus grandes proches du nœud se trouvent dans son sous-arbre droit, et la plus petite d'entre elles est le nœud le plus à gauche de ce sous-arbre.

Réponse

D · Au nœud le plus à gauche de son sous-arbre droit
4.Structures de données

Réponse: C · Tenir un compteur d'éléments séparé, ou toujours laisser une case inutilisée

Pourquoi c'est la réponse

Avec un compteur, vide signifie count = 0 et plein signifie count = capacité ; avec une case vide, plein se définit par (rear + 1) mod n == front.

Réponse

C · Tenir un compteur d'éléments séparé, ou toujours laisser une case inutilisée
5.Théorie des graphes

Réponse: Chemin eulérien, pas de circuit

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Sommets impairs

C, G → 2
Chemin eulérien, pas de circuit

Réponse

Chemin eulérien, pas de circuit

Le chemin eulérien commence à un sommet impair et finit à l’autre.

6.Théorie des graphes

Réponse: arête BE

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

1. DE (1)
2. BE (4)
3. AC (5)
4. AB (12)

numéro de l’arête 2

BE

Réponse

arête BE

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