Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

Nouveaux exercicesRetour au cours

Dans la fenêtre d’impression, choisissez « Enregistrer au format PDF » pour garder une copie sur votre appareil.

1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Un algorithme glouton :

  1. ADonne toujours la solution optimale
  2. BFait le meilleur choix local à chaque étape
  3. CN'utilise que la récursivité
  4. DEssaie toutes les solutions possibles
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quel énoncé sur la sélection du k-ième plus petit élément d'un tableau non trié est correct ?

  1. ALa sélection exige toujours Ω(n log n) car elle nécessite un tri
  2. BQuickselect s'exécute en O(log n) dans le pire cas, car il ne récurse que d'un seul côté du pivot
  3. CLa sélection n'est possible qu'en O(n²)
  4. DQuickselect s'exécute en O(n) en espérance, et la médiane des médianes garantit O(n) dans le pire cas
3.Structures de donnéesMoyen

Quel est le coût de l'insertion d'un élément au milieu d'un tableau de n éléments ?

  1. AO(log n), grâce à la recherche dichotomique
  2. BO(n²), car chaque élément se déplace n fois
  3. CO(n), car les éléments suivants doivent être décalés
  4. DO(1), car l'indice est connu
4.Structures de donnéesDifficile

Quelle propriété maintient tout B-arbre parfaitement équilibré ?

  1. AChaque nœud stocke une seule clé
  2. BToutes les feuilles sont à la même profondeur
  3. CChaque nœud a exactement deux enfants
  4. DLes clés ne sont stockées que dans la racine
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDECircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
20161810264ABCDE

Trouvez le poids total W d’un arbre couvrant minimal du graphe pondéré.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Fait le meilleur choix local à chaque étape

Pourquoi c'est la réponse

Les algorithmes gloutons sont rapides et optimaux pour certains problèmes (par ex. Dijkstra, codage de Huffman), mais pas en général (par ex. le rendu de monnaie avec certains systèmes de pièces).

Réponse

B · Fait le meilleur choix local à chaque étape
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Quickselect s'exécute en O(n) en espérance, et la médiane des médianes garantit O(n) dans le pire cas

Pourquoi c'est la réponse

Le travail espéré de quickselect vaut n + n/2 + n/4 + ... = O(n) avec des pivots aléatoires ; choisir le pivot comme médiane des médianes rend le pire cas linéaire.

Réponse

D · Quickselect s'exécute en O(n) en espérance, et la médiane des médianes garantit O(n) dans le pire cas
3.Structures de données

Réponse: C · O(n), car les éléments suivants doivent être décalés

Pourquoi c'est la réponse

Tous les éléments situés après le point d'insertion se décalent d'une position vers la droite, ce qui prend un temps proportionnel à n.

Réponse

C · O(n), car les éléments suivants doivent être décalés
4.Structures de données

Réponse: B · Toutes les feuilles sont à la même profondeur

Pourquoi c'est la réponse

Les nœuds pleins se scindent vers le haut et l'arbre ne grandit que lorsque la racine se scinde, donc toutes les feuilles restent toujours au même niveau.

Réponse

B · Toutes les feuilles sont à la même profondeur
5.Théorie des graphes

Réponse: Chemin eulérien, pas de circuit

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 2

Sommets impairs

C, D → 2
Chemin eulérien, pas de circuit

Réponse

Chemin eulérien, pas de circuit

Le chemin eulérien commence à un sommet impair et finit à l’autre.

6.Théorie des graphes

Réponse: W = 28

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

CE (2): prise
BE (4): prise
DE (6): prise
BD (10): sautée, ferme un cycle
AC (16): prise

Poids total

W = 2 + 4 + 6 + 16 = 28

Réponse

W = 28

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms