Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

Nouveaux exercicesRetour au cours

Dans la fenêtre d’impression, choisissez « Enregistrer au format PDF » pour garder une copie sur votre appareil.

1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Avec des pièces de 1, 3 et 4 et un montant de 6, combien de pièces utilise la méthode gloutonne « la plus grosse pièce d'abord », comparée à l'optimum ?

  1. ALe glouton utilise 4 pièces ; l'optimum est 3
  2. BLe glouton utilise 2 pièces ; l'optimum est 2
  3. CLe glouton utilise 3 pièces ; l'optimum est 3
  4. DLe glouton utilise 3 pièces ; l'optimum est 2
2.Algorithmes et complexitéDifficile

L'algorithme de Strassen multiplie des matrices en utilisant 7 au lieu de 8 multiplications récursives de blocs de taille moitié. Quel est son temps d'exécution ?

  1. AΘ(n2)
  2. BΘ(n² log n)
  3. CΘ(n³)
  4. DΘ(nlog₂ 7), soit environ n2,81
3.Structures de donnéesMoyen

Combien de temps prend la recherche d'un mot de longueur L dans un trie à alphabet fixe ?

  1. AO(L × n)
  2. BO(L), quel que soit le nombre de mots stockés
  3. CO(n), où n est le nombre de mots
  4. DO(log n), où n est le nombre de mots
4.Structures de donnéesDifficile

Pour qu'une table de hachage fonctionne correctement, quelle règle le hachage et l'égalité doivent-ils respecter ?

  1. ADes valeurs de hachage égales impliquent des clés égales
  2. BDes clés différentes doivent avoir des valeurs de hachage différentes
  3. CLes valeurs de hachage doivent être des nombres premiers
  4. DDes clés égales doivent avoir des valeurs de hachage égales
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 2 sommets de degré 3, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

2 × deg 3
L =
6.Théorie des graphesDifficile
148720181021936511ABCDEFG

Trouvez le poids total W d’un arbre couvrant minimal du graphe pondéré.

|V| = 7|E| = 12
W =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Le glouton utilise 3 pièces ; l'optimum est 2

Pourquoi c'est la réponse

Le glouton prend 4 + 1 + 1 = 3 pièces, mais 3 + 3 n'en utilise que 2 : le glouton n'est pas optimal pour ce système de pièces, contrairement à la programmation dynamique.

Réponse

D · Le glouton utilise 3 pièces ; l'optimum est 2
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Θ(nlog₂ 7), soit environ n2,81

Pourquoi c'est la réponse

Avec a = 7 et b = 2, nlog₂ 7 domine le travail d'addition en O(n²), ce qui donne environ n2,81.

Réponse

D · Θ(nlog₂ 7), soit environ n2,81
3.Structures de données

Réponse: B · O(L), quel que soit le nombre de mots stockés

Pourquoi c'est la réponse

Chaque caractère sélectionne un enfant, donc une recherche prend L étapes quel que soit le nombre de mots contenus dans le trie.

Réponse

B · O(L), quel que soit le nombre de mots stockés
4.Structures de données

Réponse: D · Des clés égales doivent avoir des valeurs de hachage égales

Pourquoi c'est la réponse

Si deux clés égales avaient des hachages différents, elles seraient stockées dans des compartiments différents et les recherches échoueraient ; des clés différentes peuvent toutefois partager un hachage.

Réponse

D · Des clés égales doivent avoir des valeurs de hachage égales
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 4

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 6 = 2(L + 2) − 2
L = 4

Réponse

L = 4

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: W = 34

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

DF (2): prise
GB (3): prise
GD (5): prise
GC (6): prise
BC (7): sautée, ferme un cycle
AC (8): prise
DE (10): prise

Poids total

W = 2 + 3 + 5 + 6 + 8 + 10 = 34

Réponse

W = 34

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms