Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la complexité temporelle du tri rapide (quicksort) dans le pire cas ?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle est la différence entre un problème indécidable et un problème intraitable ?

  1. ALes deux signifient que le problème n'a aucun algorithme
  2. BLes problèmes intraitables ne peuvent être résolus par aucun algorithme, tandis que les indécidables demandent seulement un temps exponentiel
  3. CUn problème indécidable n'a aucun algorithme valable pour toutes les entrées ; un problème intraitable en a un, mais il est trop lent
  4. DLes problèmes indécidables sont dans NP, tandis que les problèmes intraitables sont dans P
3.Structures de donnéesMoyen

Comment insère-t-on un nouvel élément dans un tas binaire ?

  1. AOn reconstruit entièrement le tas
  2. BOn le place à la racine et on le fait descendre
  3. COn l'insère à sa position triée en décalant d'un cran vers la droite tous les éléments plus grands
  4. DOn le place à la fin du tableau et on le fait remonter tant qu'il viole la propriété de tas
4.Structures de donnéesDifficile

Quel est le principal avantage d'une liste à enjambements (skip list) par rapport à une liste chaînée triée ?

  1. AUne recherche en O(log n) en moyenne grâce à plusieurs niveaux de pointeurs avant
  2. BElle stocke les clés sans ordre
  3. CUne recherche en O(1) garantie, car chaque nœud stocke un pointeur vers tous les autres nœuds
  4. DElle n'utilise aucune mémoire supplémentaire
5.Théorie des graphesMoyen

Combien de circuits hamiltoniens différents H le graphe complet K7 a-t-il ? Les circuits qui ne diffèrent que par le sommet de départ ou le sens comptent comme un seul.

K7
H =
6.Théorie des graphesDifficile
ABCDEF

Combien de marches fermées de longueur 3 partent de B et y reviennent ? Une marche peut répéter des sommets et des arêtes. Appelez ce nombre N.

M = matrice d’adjacenceL = 3
N =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · O(n²)

Pourquoi c'est la réponse

Avec des pivots systématiquement mauvais (par ex. une entrée déjà triée et le premier élément comme pivot), les partitions sont déséquilibrées, ce qui donne O(n²). Le cas moyen est O(n log n).

Réponse

C · O(n²)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Un problème indécidable n'a aucun algorithme valable pour toutes les entrées ; un problème intraitable en a un, mais il est trop lent

Pourquoi c'est la réponse

Le problème de l'arrêt n'a aucun algorithme ; un problème NP-difficile comme le TSP peut être résolu par force brute, simplement pas en temps polynomial connu.

Réponse

C · Un problème indécidable n'a aucun algorithme valable pour toutes les entrées ; un problème intraitable en a un, mais il est trop lent
3.Structures de données

Réponse: D · On le place à la fin du tableau et on le fait remonter tant qu'il viole la propriété de tas

Pourquoi c'est la réponse

L'ajout à la fin maintient l'arbre complet ; les échanges avec le parent rétablissent l'ordre en O(log n) étapes.

Réponse

D · On le place à la fin du tableau et on le fait remonter tant qu'il viole la propriété de tas
4.Structures de données

Réponse: A · Une recherche en O(log n) en moyenne grâce à plusieurs niveaux de pointeurs avant

Pourquoi c'est la réponse

Des niveaux aléatoires permettent aux recherches de sauter de nombreux nœuds, ce qui donne en moyenne O(log n) pour la recherche, l'insertion et la suppression.

Réponse

A · Une recherche en O(log n) en moyenne grâce à plusieurs niveaux de pointeurs avant
5.Théorie des graphes

Réponse: H = 360

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Compter

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Réponse

H = 360
6.Théorie des graphes

Réponse: N = 4

Degrés : le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes qui y aboutissent. Chaque arête a deux extrémités, donc les degrés totalisent deux fois le nombre d’arêtes : Σ deg(v) = 2|E| (le lemme des poignées de main). Le nombre de sommets de degré impair est donc pair. Kn a n(n − 1)/2 arêtes, un graphe k-régulier à n sommets en a nk/2, et un arbre à n sommets a n − 1 arêtes.

Matrice d’adjacence

A: 0 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 0 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Un pas de plus

(M³)BB = 0·1 + 4·0 + 1·1 + 1·1 + 2·1 + 2·0 = 4

Réponse

N = 4

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