Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la complexité temporelle de : pour i = 1 à n : (j = 1 ; tant que j < n : j = j × 2) ?

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Pourquoi la recherche dichotomique ne s'exécute-t-elle pas en O(log n) sur une liste simplement chaînée ?

  1. ALa recherche dichotomique nécessite au moins deux fois plus de mémoire
  2. BLes listes chaînées ne peuvent pas être triées
  3. CLes comparaisons sur les nœuds d'une liste chaînée sont plus lentes
  4. DAtteindre l'élément du milieu prend O(n) étapes, faute d'accès direct par indice
3.Structures de donnéesMoyen

Comment insère-t-on un nouvel élément dans un tas binaire ?

  1. AOn le place à la racine et on le fait descendre
  2. BOn le place à la fin du tableau et on le fait remonter tant qu'il viole la propriété de tas
  3. COn l'insère à sa position triée en décalant d'un cran vers la droite tous les éléments plus grands
  4. DOn reconstruit entièrement le tas
4.Structures de donnéesDifficile

Quelle propriété maintient tout B-arbre parfaitement équilibré ?

  1. ALes clés ne sont stockées que dans la racine
  2. BToutes les feuilles sont à la même profondeur
  3. CChaque nœud a exactement deux enfants
  4. DChaque nœud stocke une seule clé
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 3 sommets de degré 3, 2 sommets de degré 4, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

3 × deg 32 × deg 4
L =
6.Théorie des graphesDifficile
12311342313ABCDEF

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F
d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · O(n log n)

Pourquoi c'est la réponse

La boucle intérieure s'exécute environ log₂ n fois pour chacune des n itérations extérieures, soit O(n log n).

Réponse

A · O(n log n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Atteindre l'élément du milieu prend O(n) étapes, faute d'accès direct par indice

Pourquoi c'est la réponse

La recherche dichotomique nécessite un accès en O(1) au milieu ; sur une liste chaînée, s'y rendre coûte un temps linéaire, si bien que le total est O(n).

Réponse

D · Atteindre l'élément du milieu prend O(n) étapes, faute d'accès direct par indice
3.Structures de données

Réponse: B · On le place à la fin du tableau et on le fait remonter tant qu'il viole la propriété de tas

Pourquoi c'est la réponse

L'ajout à la fin maintient l'arbre complet ; les échanges avec le parent rétablissent l'ordre en O(log n) étapes.

Réponse

B · On le place à la fin du tableau et on le fait remonter tant qu'il viole la propriété de tas
4.Structures de données

Réponse: B · Toutes les feuilles sont à la même profondeur

Pourquoi c'est la réponse

Les nœuds pleins se scindent vers le haut et l'arbre ne grandit que lorsque la racine se scinde, donc toutes les feuilles restent toujours au même niveau.

Réponse

B · Toutes les feuilles sont à la même profondeur
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 9

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 17 = 2(L + 5) − 2
L = 9

Réponse

L = 9

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 19

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 12, C: 3
C (3): B: 4
B (4): D: 17, E: 17
D (17): F: 19
E (17)
F (19)

Plus court chemin

A → C → B → D → F
d(F) = 19

Réponse

d(F) = 19

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