Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

La programmation dynamique est utile lorsqu'un problème présente :

  1. ADes sous-problèmes qui se chevauchent et une sous-structure optimale
  2. BUniquement des entrées aléatoires
  3. CUne seule boucle
  4. DAucun sous-problème, de sorte qu'il peut être résolu en une seule étape
2.Algorithmes et complexitéDifficile

L'algorithme de programmation dynamique de Held-Karp résout exactement le problème du voyageur de commerce. Quel est son temps d'exécution pour n villes ?

  1. AO(n!)
  2. BO(2n²)
  3. CO(n³)
  4. DO(n² 2ⁿ)
3.Structures de donnéesMoyen

Quelle est la complexité temporelle de la recherche d'une clé dans un arbre binaire de recherche équilibré ?

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
4.Structures de donnéesDifficile

Quelle garantie les règles des arbres rouge-noir donnent-elles sur la hauteur d'un arbre à n clés ?

  1. ALa hauteur est au plus log2 n + 1
  2. BLa hauteur est au plus 2 log2(n + 1)
  3. CLa hauteur est au plus n / 2
  4. DLa hauteur vaut exactement log2 n
5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 14 sommets et 19 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 14|E| = 19
k =
6.Théorie des graphesDifficile
15714132201019ABCDEF

L’algorithme de Prim construit un arbre couvrant minimal en partant du sommet D. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 4.

départ : Dk = 4
  1. 1arête AB
  2. 2arête AC
  3. 3arête BC
  4. 4arête BD
  5. 5arête CE
  6. 6arête DE
  7. 7arête EF
  8. 8arête BE

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Des sous-problèmes qui se chevauchent et une sous-structure optimale

Pourquoi c'est la réponse

Mémoriser les résultats des sous-problèmes qui se chevauchent (mémoïsation ou tabulation) évite le travail répété et transforme des algorithmes exponentiels en algorithmes polynomiaux.

Réponse

A · Des sous-problèmes qui se chevauchent et une sous-structure optimale
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · O(n² 2ⁿ)

Pourquoi c'est la réponse

Il y a environ n 2ⁿ états, chacun calculé en O(n) ; c'est exponentiel mais bien plus rapide que d'essayer les (n − 1)! tournées possibles.

Réponse

D · O(n² 2ⁿ)
3.Structures de données

Réponse: A · O(log n)

Pourquoi c'est la réponse

Un arbre équilibré a une hauteur d'environ log₂ n, donc une recherche suit un seul chemin de la racine à une feuille.

Réponse

A · O(log n)
4.Structures de données

Réponse: B · La hauteur est au plus 2 log2(n + 1)

Pourquoi c'est la réponse

Chaque chemin contient le même nombre de nœuds noirs et deux nœuds rouges ne peuvent pas être adjacents, donc le plus long chemin fait au plus le double du plus court, ce qui donne une hauteur en O(log n).

Réponse

B · La hauteur est au plus 2 log2(n + 1)
5.Théorie des graphes

Réponse: k = 6

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

14 − 1 = 13

Arêtes à retirer

k = 19 − 13 = 6

Réponse

k = 6
6.Théorie des graphes

Réponse: arête AC

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Prim

1. BD (13)
2. BC (14)
3. CE (2)
4. AC (7)
5. EF (10)

numéro de l’arête 4

AC

Réponse

arête AC

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