Équations différentielles : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Équations différentielles

Croissance/décroissance exponentielle: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Demi-vie: k = ln 2 / t_½
Loi de refroidissement de Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Facteur intégrant: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Cuve de mélange: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Intégrales

Règle des puissances: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Intégrale définie: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Primitives usuelles: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Aire entre deux courbes: ∫_a^b (f − g) dx

Méthode

Réécrivez l’intégrande comme une somme de termes simples si possible.
Appliquez la règle des puissances : ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), et les primitives usuelles de e^x, 1/x, sin et cos.
Utilisez un changement de variable quand une fonction et sa dérivée apparaissent ensemble.
Pour une intégrale définie, calculez F(b) − F(a).

Dérivées

Règle des puissances: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Règle du produit: (uv)′ = u′v + uv′
Règle du quotient: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Dérivation en chaîne: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Dérivées usuelles: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Méthode

Identifiez la structure : somme, produit, quotient ou composée.
Appliquez la règle des puissances à chaque puissance de x.
Utilisez la règle du produit, du quotient ou de dérivation des fonctions composées si nécessaire.
Simplifiez, et évaluez au point si c’est demandé.

Méthodes numériques

Dichotomie: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolation linéaire: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Méthode des trapèzes: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Méthode de Simpson (n pair): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Majoration de l’erreur des trapèzes: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Méthode

Pour une racine : vérifiez le changement de signe pour la dichotomie, ou calculez f et f′ pour Newton, et gardez six chiffres ou plus dans un tableau d’itérés.
Pour une valeur de tableau : interpolez linéairement entre les deux points voisins.
Pour une intégrale : trouvez h = (b − a)/n, listez f en chaque nœud, appliquez les poids (1, 2, …, 2, 1 pour les trapèzes ; 1, 4, 2, …, 4, 1 pour Simpson avec n pair) et multipliez par h/2 ou h/3.
Pour une équation différentielle : avance depuis t₀ avec yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ou la pente moyenne (Heun), une ligne par pas, jusqu’à atteindre le t demandé.

2Exercices

1.Équations différentiellesMoyen

Une canette de soda à 5 °C est sortie du réfrigérateur dans une pièce à 29 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Avec k = 0,06 min⁻¹, trouvez sa température T au bout de 26 min.

T₀ = 5 °CT_a = 29 °Ck = 0,06 min⁻¹t = 26 min

T = °C

2.Équations différentiellesDifficile

Résolvez le problème de Cauchy y′ + 2y/x = 4x pour x > 0, avec y(1) = 0. Trouvez y(2).

y′ + 2y/x = 4xy(1) = 0

y(2) =

3.IntégralesMoyen

Calcule I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)³ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 1]

I =

4.IntégralesDifficile

Calcule l'aire A du domaine entre la parabole y = 1 − x² et l'axe des x.

y = 1 − x²

A =

5.DérivéesMoyen

Soit f(x) = ln(x² + 5). Calcule f′(−2).

f(x) = ln(x² + 5)x = −2

f′(−2) =

6.DérivéesDifficile

Soit f(x) = x³ + 3x² + 4. Trouve l'abscisse x du maximum local.

f(x) = x³ + 3x² + 4

x =

7.Méthodes numériquesMoyen

Approchez ∫₀³ √x·e^−x dx par la méthode de Simpson avec n = 6 bandes. Donnez S.

f(x) = √x·e^−x[a, b] = [0, 3]n = 6

S =

8.Méthodes numériquesDifficile

Résolvez y′ = y − t², y(0) = 0,5 avec la méthode d’Euler et le pas h = 0,25 jusqu’à t = 1,25. La solution exacte est y = t² + 2t + 2 + (y₀ − 2)eᵗ. Trouvez l’erreur globale |E| = |y(1,25) − y₅|.

y′ = y − t²y(0) = 0,5h = 0,25

|E| =

3Solutions

1.Équations différentielles

Réponse: T = 23,96 °C

Équations différentielles du premier ordre : dy/dt = k·y a pour solution y = y₀·e^kt (croissance pour k > 0, décroissance pour k < 0) ; une demi-vie T donne k = ln 2/T. La loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), donne T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Une équation linéaire y′ + p(x)·y = q(x) se résout avec le facteur intégrant μ = e^{∫p dx} : (μy)′ = μq, donc μy = ∫μq dx + C.

Solution de la loi de refroidissement

T(t) = 29 + (−24)·e^−0,06t

Remplacer t

T(26) = 29 + (−24)·0,2101 = 23,96 °C

Réponse

T = 23,96 °C

2.Équations différentielles

Réponse: y(2) = 3,75

Facteur intégrant

μ = e^{∫2/x dx} = x²

Intégrer

(x²y)′ = 4x³ → x²y = 4x⁴/4 + C

Condition initiale

0 = 4/4 + C → C = −1

Évaluer

y(2) = (4·2⁴/4 + (−1))/2² = 3,75

Réponse

y(2) = 3,75

3.Intégrales

Réponse: I = 3,75

Intégrales définies : ∫ₐᵇ f(x) dx est l'aire algébrique entre le graphe et l'axe des x de a à b. Trouve une primitive F (avec F′ = f) et calcule F(b) − F(a). Règle des puissances : ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). L'aire entre deux courbes est ∫(haute − basse) dx.

Changement de variable

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u³ du

Intégrer et évaluer

I = [u⁴/4]₁² = (16 − 1)/4 = 3,75

Réponse

I = 3,75

4.Intégrales

Réponse: A = 1,333

Zéros

1 − x² = 0 → x = ±1

Intégrer

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Réponse

A = 1,333

5.Dérivées

Réponse: f′(−2) = −0,4444

Dérivation : la dérivée f′(x) est la pente du graphe en x. Règle des puissances : (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Règle du produit : (uv)′ = u′v + uv′. Règle de dérivation en chaîne : (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Là où f′(x) = 0, le graphe a une tangente horizontale : un maximum, un minimum ou un point selle.

Dérivation en chaîne du logarithme

f′(x) = 2x/(x² + 5)

Remplacer

f′(−2) = −4/9 = −0,4444

Réponse

f′(−2) = −0,4444

6.Dérivées

Réponse: x = −2

Dérivée

f′(x) = 3x² + 6x = 3·(x² + 2x)

Résoudre f′(x) = 0

x = −2 ou x = 0

Lequel est lequel

f″(x) = 6x + 6 : négative en un maximum, positive en un minimum.

f″(−2) = −6, f″(0) = 6

x = −2

Réponse

x = −2

7.Méthodes numériques

Réponse: S = 0,7554

Intégration numérique : découpe [a, b] en n bandes de largeur h = (b − a)/n avec les nœuds x₀ … xₙ. Méthode des trapèzes : T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Méthode de Simpson (n pair) : S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. L’erreur des trapèzes décroît comme h² (majoration (b − a)h²·M/12 avec M = max|f″|), celle de Simpson comme h⁴, donc Simpson est en général bien plus précise pour les mêmes nœuds.

Nœuds et valeurs

h = 0,5

Σ wᵢfᵢ = 0 + 4·0,428882 + 2·0,367879 + 4·0,273278 + 2·0,191393 + 4·0,129788 + 0,0862337 = 4,532568

Méthode de Simpson

S = (0,5/3)·4,532568 = 0,7554

Réponse

S = 0,7554

Cette intégrale n’a pas de primitive élémentaire, ce qui est exactement le cas où une méthode numérique est nécessaire.

8.Méthodes numériques

Réponse: |E| = 0,1449

Résolution numérique de y′ = f(t, y) : la méthode d’Euler avance selon la pente au début de chaque pas : y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). La méthode de Heun (Euler amélioré) moyenne la pente au début et à une prédiction d’Euler : k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). La méthode de Runge–Kutta classique (RK4) combine quatre pentes : y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). L’erreur globale d’Euler est proportionnelle à h, celle de Heun à h², celle de RK4 à h⁴.

Pas d’Euler

y₅ = 0,971924

Valeur exacte

y(1,25) = 0,826986

Erreur globale

|E| = |0,826986 − 0,971924| = 0,1449

Graphique

Réponse

|E| = 0,1449

Diviser h par deux divise à peu près par deux l’erreur de la méthode d’Euler.

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