Équations différentielles : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Équations différentielles

Croissance/décroissance exponentielle: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Demi-vie: k = ln 2 / t_½
Loi de refroidissement de Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Facteur intégrant: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Cuve de mélange: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Intégrales

Règle des puissances: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Intégrale définie: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Primitives usuelles: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Aire entre deux courbes: ∫_a^b (f − g) dx

Méthode

Réécrivez l’intégrande comme une somme de termes simples si possible.
Appliquez la règle des puissances : ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), et les primitives usuelles de e^x, 1/x, sin et cos.
Utilisez un changement de variable quand une fonction et sa dérivée apparaissent ensemble.
Pour une intégrale définie, calculez F(b) − F(a).

Dérivées

Règle des puissances: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Règle du produit: (uv)′ = u′v + uv′
Règle du quotient: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Dérivation en chaîne: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Dérivées usuelles: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Méthode

Identifiez la structure : somme, produit, quotient ou composée.
Appliquez la règle des puissances à chaque puissance de x.
Utilisez la règle du produit, du quotient ou de dérivation des fonctions composées si nécessaire.
Simplifiez, et évaluez au point si c’est demandé.

Méthodes numériques

Dichotomie: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolation linéaire: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Méthode des trapèzes: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Méthode de Simpson (n pair): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Majoration de l’erreur des trapèzes: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Méthode

Pour une racine : vérifiez le changement de signe pour la dichotomie, ou calculez f et f′ pour Newton, et gardez six chiffres ou plus dans un tableau d’itérés.
Pour une valeur de tableau : interpolez linéairement entre les deux points voisins.
Pour une intégrale : trouvez h = (b − a)/n, listez f en chaque nœud, appliquez les poids (1, 2, …, 2, 1 pour les trapèzes ; 1, 4, 2, …, 4, 1 pour Simpson avec n pair) et multipliez par h/2 ou h/3.
Pour une équation différentielle : avance depuis t₀ avec yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ou la pente moyenne (Heun), une ligne par pas, jusqu’à atteindre le t demandé.

2Exercices

1.Équations différentiellesMoyen

Une pièce d’acier forgé à 500 °C refroidit dans un atelier à 20 °C. Au bout de 34 min, sa température est de 193 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.

T₀ = 500 °CT_a = 20 °CT(34) = 193 °C

k = min⁻¹

2.Équations différentiellesDifficile

Résolvez le problème de Cauchy y′ + y/x = 2x pour x > 0, avec y(1) = −1. Trouvez y(2).

y′ + y/x = 2xy(1) = −1

y(2) =

3.IntégralesMoyen

Calcule I = ∫₀² 2x·(x² + 1)¹ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)¹[0, 2]

I =

4.IntégralesDifficile

Calcule l'aire A du domaine entre la parabole y = 4 − x² et l'axe des x.

y = 4 − x²

A =

5.DérivéesMoyen

Soit f(x) = x·e^−0,5x. Calcule f′(0,5).

f(x) = x·e^−0,5xx = 0,5

f′(0.5) =

6.DérivéesDifficile

Soit f(x) = x³ − 12x² + 36x − 3. Trouve l'abscisse x du minimum local.

f(x) = x³ − 12x² + 36x − 3

x =

7.Méthodes numériquesMoyen

Approchez ∫₀³ sin x dx par la méthode des trapèzes, n = 2, et comparez avec la valeur exacte. Trouvez l’erreur absolue |E| = |T − I|.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 3]n = 2

|E| =

8.Méthodes numériquesDifficile

Résolvez y′ = −y, y(0) = 3 avec la méthode d’Euler et le pas h = 0,25 jusqu’à t = 1. La solution exacte est y = y₀e^−t. Trouvez l’erreur globale |E| = |y(1) − y₄|.

y′ = −yy(0) = 3h = 0,25

|E| =

3Solutions

1.Équations différentielles

Réponse: k = 0,03001 min⁻¹

Équations différentielles du premier ordre : dy/dt = k·y a pour solution y = y₀·e^kt (croissance pour k > 0, décroissance pour k < 0) ; une demi-vie T donne k = ln 2/T. La loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), donne T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Une équation linéaire y′ + p(x)·y = q(x) se résout avec le facteur intégrant μ = e^{∫p dx} : (μy)′ = μq, donc μy = ∫μq dx + C.

Rapport des écarts de température

e^−34k = 173/480

Résoudre pour k

k = ln(480/173)/34 = 0,03001 min⁻¹

Réponse

k = 0,03001 min⁻¹

2.Équations différentielles

Réponse: y(2) = 1,833

Facteur intégrant

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

Intégrer

(x¹y)′ = 2x² → x¹y = 2x³/3 + C

Condition initiale

−1 = 2/3 + C → C = −1,667

Évaluer

y(2) = (2·2³/3 + (−1,667))/2¹ = 1,833

Réponse

y(2) = 1,833

3.Intégrales

Réponse: I = 12

Intégrales définies : ∫ₐᵇ f(x) dx est l'aire algébrique entre le graphe et l'axe des x de a à b. Trouve une primitive F (avec F′ = f) et calcule F(b) − F(a). Règle des puissances : ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). L'aire entre deux courbes est ∫(haute − basse) dx.

Changement de variable

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u¹ du

Intégrer et évaluer

I = [u²/2]₁⁵ = (25 − 1)/2 = 12

Réponse

I = 12

4.Intégrales

Réponse: A = 10,67

Zéros

4 − x² = 0 → x = ±2

Intégrer

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Réponse

A = 10,67

5.Dérivées

Réponse: f′(0.5) = 0,5841

Dérivation : la dérivée f′(x) est la pente du graphe en x. Règle des puissances : (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Règle du produit : (uv)′ = u′v + uv′. Règle de dérivation en chaîne : (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Là où f′(x) = 0, le graphe a une tangente horizontale : un maximum, un minimum ou un point selle.

Règle du produit

f′(x) = u′v + uv′ = e^−0,5x·(1 + (−0,5)·x)

Remplacer

f′(0,5) = 0,7788·(1 + (−0,25)) = 0,5841

Réponse

f′(0,5) = 0,5841

6.Dérivées

Réponse: x = 6

Dérivée

f′(x) = 3x² − 24x + 36 = 3·(x² − 8x + 12)

Résoudre f′(x) = 0

x = 2 ou x = 6

Lequel est lequel

f″(x) = 6x − 24 : négative en un maximum, positive en un minimum.

f″(2) = −12, f″(6) = 12

x = 6

Réponse

x = 6

7.Méthodes numériques

Réponse: |E| = 0,3879

Intégration numérique : découpe [a, b] en n bandes de largeur h = (b − a)/n avec les nœuds x₀ … xₙ. Méthode des trapèzes : T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Méthode de Simpson (n pair) : S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. L’erreur des trapèzes décroît comme h² (majoration (b − a)h²·M/12 avec M = max|f″|), celle de Simpson comme h⁴, donc Simpson est en général bien plus précise pour les mêmes nœuds.

Valeur exacte

I = 1,989992

Méthode des trapèzes

T = (1,5/2)·(0 + 2·0,997495 + 0,14112) = 1,602082

Erreur

|E| = |1,602082 − 1,989992| = 0,3879

Réponse

|E| = 0,3879

Erreur relative : 19,49 %.

8.Méthodes numériques

Réponse: |E| = 0,1544

Résolution numérique de y′ = f(t, y) : la méthode d’Euler avance selon la pente au début de chaque pas : y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). La méthode de Heun (Euler amélioré) moyenne la pente au début et à une prédiction d’Euler : k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). La méthode de Runge–Kutta classique (RK4) combine quatre pentes : y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). L’erreur globale d’Euler est proportionnelle à h, celle de Heun à h², celle de RK4 à h⁴.

Pas d’Euler

y₄ = 0,949219

Valeur exacte

y(1) = 1,103638

Erreur globale

|E| = |1,103638 − 0,949219| = 0,1544

Graphique

Réponse

|E| = 0,1544

Diviser h par deux divise à peu près par deux l’erreur de la méthode d’Euler.

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