Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
Une tasse de café à 91 °C est laissée dans une pièce à 18 °C. Au bout de 25 min, sa température est de 26 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.
Résolvez le problème de Cauchy y′ + 2y/x = 2 pour x > 0, avec y(1) = 2. Trouvez y(2).
Calcule I = ∫26 1/x dx.
Calcule l'aire A du domaine délimité par y = 2x2 et y = x.
Soit f(x) = ln(2x2 + 4). Calcule f′(−1).
Soit f(x) = x3 + 1,5x2 − 6. Trouve l'abscisse x du maximum local.
Approchez ∫01 1/√(1 + x⁴) dx par la méthode des trapèzes avec n = 6 bandes. Donnez T.
Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,2 pour y′ = e−ty, y(0) = 1 afin d’estimer y4 ≈ y(0,8).
Réponse: k = 0,08844 min⁻¹
Équations différentielles du premier ordre : dy/dt = k·y a pour solution y = y₀·ekt (croissance pour k > 0, décroissance pour k < 0) ; une demi-vie T donne k = ln 2/T. La loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), donne T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Une équation linéaire y′ + p(x)·y = q(x) se résout avec le facteur intégrant μ = e∫p dx : (μy)′ = μq, donc μy = ∫μq dx + C.
Réponse: y(2) = 1,667
Équations différentielles du premier ordre : dy/dt = k·y a pour solution y = y₀·ekt (croissance pour k > 0, décroissance pour k < 0) ; une demi-vie T donne k = ln 2/T. La loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), donne T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Une équation linéaire y′ + p(x)·y = q(x) se résout avec le facteur intégrant μ = e∫p dx : (μy)′ = μq, donc μy = ∫μq dx + C.
Réponse: I = 1,099
Intégrales définies : ∫ₐᵇ f(x) dx est l'aire algébrique entre le graphe et l'axe des x de a à b. Trouve une primitive F (avec F′ = f) et calcule F(b) − F(a). Règle des puissances : ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). L'aire entre deux courbes est ∫(haute − basse) dx.
Réponse: A = 0,04167
Intégrales définies : ∫ₐᵇ f(x) dx est l'aire algébrique entre le graphe et l'axe des x de a à b. Trouve une primitive F (avec F′ = f) et calcule F(b) − F(a). Règle des puissances : ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). L'aire entre deux courbes est ∫(haute − basse) dx.
Réponse: f′(−1) = −0,6667
Dérivation : la dérivée f′(x) est la pente du graphe en x. Règle des puissances : (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Règle du produit : (uv)′ = u′v + uv′. Règle de dérivation en chaîne : (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Là où f′(x) = 0, le graphe a une tangente horizontale : un maximum, un minimum ou un point selle.
Réponse: x = −1
Dérivation : la dérivée f′(x) est la pente du graphe en x. Règle des puissances : (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Règle du produit : (uv)′ = u′v + uv′. Règle de dérivation en chaîne : (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Là où f′(x) = 0, le graphe a une tangente horizontale : un maximum, un minimum ou un point selle.
f″(x) = 6x + 3 : négative en un maximum, positive en un minimum.
Réponse: T = 0,9254
Intégration numérique : découpe [a, b] en n bandes de largeur h = (b − a)/n avec les nœuds x₀ … xₙ. Méthode des trapèzes : T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Méthode de Simpson (n pair) : S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. L’erreur des trapèzes décroît comme h² (majoration (b − a)h²·M/12 avec M = max|f″|), celle de Simpson comme h⁴, donc Simpson est en général bien plus précise pour les mêmes nœuds.
Cette intégrale n’a pas de primitive élémentaire, ce qui est exactement le cas où une méthode numérique est nécessaire.
Réponse: y4 = 1,556
Résolution numérique de y′ = f(t, y) : la méthode d’Euler avance selon la pente au début de chaque pas : yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). La méthode de Heun (Euler amélioré) moyenne la pente au début et à une prédiction d’Euler : k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). La méthode de Runge–Kutta classique (RK4) combine quatre pentes : yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). L’erreur globale d’Euler est proportionnelle à h, celle de Heun à h², celle de RK4 à h⁴.
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