Équations différentielles : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Équations différentielles

Croissance/décroissance exponentielle: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Demi-vie: k = ln 2 / t_½
Loi de refroidissement de Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Facteur intégrant: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Cuve de mélange: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Intégrales

Règle des puissances: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Intégrale définie: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Primitives usuelles: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Aire entre deux courbes: ∫_a^b (f − g) dx

Méthode

Réécrivez l’intégrande comme une somme de termes simples si possible.
Appliquez la règle des puissances : ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), et les primitives usuelles de e^x, 1/x, sin et cos.
Utilisez un changement de variable quand une fonction et sa dérivée apparaissent ensemble.
Pour une intégrale définie, calculez F(b) − F(a).

Dérivées

Règle des puissances: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Règle du produit: (uv)′ = u′v + uv′
Règle du quotient: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Dérivation en chaîne: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Dérivées usuelles: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Méthode

Identifiez la structure : somme, produit, quotient ou composée.
Appliquez la règle des puissances à chaque puissance de x.
Utilisez la règle du produit, du quotient ou de dérivation des fonctions composées si nécessaire.
Simplifiez, et évaluez au point si c’est demandé.

Méthodes numériques

Dichotomie: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolation linéaire: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Méthode des trapèzes: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Méthode de Simpson (n pair): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Majoration de l’erreur des trapèzes: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Méthode

Pour une racine : vérifiez le changement de signe pour la dichotomie, ou calculez f et f′ pour Newton, et gardez six chiffres ou plus dans un tableau d’itérés.
Pour une valeur de tableau : interpolez linéairement entre les deux points voisins.
Pour une intégrale : trouvez h = (b − a)/n, listez f en chaque nœud, appliquez les poids (1, 2, …, 2, 1 pour les trapèzes ; 1, 4, 2, …, 4, 1 pour Simpson avec n pair) et multipliez par h/2 ou h/3.
Pour une équation différentielle : avance depuis t₀ avec yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ou la pente moyenne (Heun), une ligne par pas, jusqu’à atteindre le t demandé.

2Exercices

1.Équations différentiellesMoyen

Résolvez y″ + 4y′ + 4y = 0 avec y(0) = 5 et y′(0) = -2. Trouvez y(1,5).

y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 5y′(0) = -2

y(1.5) =

2.Équations différentiellesDifficile

Un système obéit à y″ + 2y′ + 17y = 34 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez y(0,25) ; angles en radians.

y″ + 2y′ + 17y = 34y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.25) =

3.IntégralesMoyen

Calcule I = ∫₀² e^−x dx.

f(x) = e^−x[0, 2]

I =

4.IntégralesDifficile

Calcule l'aire A du domaine entre la parabole y = 4 − x² et l'axe des x.

y = 4 − x²

A =

5.DérivéesMoyen

Soit f(x) = x³·e^x. Calcule f′(2).

f(x) = x³·e^xx = 2

f′(2) =

6.DérivéesDifficile

La tangente à f(x) = x² − 4x − 2 en x = −1 coupe l'axe des y en y = b. Trouve b.

f(x) = x² − 4x − 2x = −1

b =

7.Méthodes numériquesMoyen

La vitesse d’un véhicule est mesurée toutes les 10 s (tableau). Estimez la distance s parcourue de t = 0 à t = 40 s avec la méthode de Simpson.

h = 10 sn = 4

s = m

8.Méthodes numériquesDifficile

Résolvez y′ = y − t², y(0) = −1 avec la méthode d’Euler et le pas h = 0,5 jusqu’à t = 2,5. La solution exacte est y = t² + 2t + 2 + (y₀ − 2)eᵗ. Trouvez l’erreur globale |E| = |y(2,5) − y₅|.

y′ = y − t²y(0) = −1h = 0,5

|E| =

3Solutions

1.Équations différentielles

Réponse: y(1.5) = 0,8464

Équations linéaires du second ordre : pour y″ + b·y′ + c·y = 0, essayez y = e^rt : on obtient l’équation caractéristique r² + b·r + c = 0. Deux racines réelles r₁ ≠ r₂ donnent y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (suramorti) ; une racine double r donne y = (A + Bt)·e^rt (amortissement critique) ; des racines complexes −α ± jω donnent y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (sous-amorti, oscillant). Les valeurs initiales y(0) et y′(0) fixent A et B. Écrite sous la forme y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n est la pulsation propre et ζ le coefficient d’amortissement : ζ < 1 donne des oscillations. Avec une entrée constante, y″ + by′ + cy = c·K, la solution est la valeur stationnaire K plus la réponse libre.

Racine double

(r + 2)² = 0 → r = −2

Constantes

A = y(0) = 5

y′(0) = B − 2A → B = -2 + 10 = 8

Évaluer

y(1,5) = (5 + 8·1,5)·e⁻³ = 0,8464

Réponse

y(1,5) = 0,8464

2.Équations différentielles

Réponse: y(0.25) = 0,8308

Valeur stationnaire et racines

y_ss = 2, r = −1 ± 4j

Constantes à partir des valeurs initiales

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2

y′(0) = −1A + 4B = 0 → B = −0,5

Évaluer

y(0,25) = 2·(1 − e^−0,25(cos 1 + 0,25·sin 1)) = 0,8308

Réponse

y(0,25) = 0,8308

3.Intégrales

Réponse: I = 0,8647

Intégrales définies : ∫ₐᵇ f(x) dx est l'aire algébrique entre le graphe et l'axe des x de a à b. Trouve une primitive F (avec F′ = f) et calcule F(b) − F(a). Règle des puissances : ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). L'aire entre deux courbes est ∫(haute − basse) dx.

Primitive

F(x) = e^−x/(−1)

Évaluer aux bornes

I = (e⁻² − 1)/(−1) = (0,1353 − 1)/(−1) = 0,8647

Réponse

I = 0,8647

4.Intégrales

Réponse: A = 10,67

Zéros

4 − x² = 0 → x = ±2

Intégrer

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Réponse

A = 10,67

5.Dérivées

Réponse: f′(2) = 147,8

Dérivation : la dérivée f′(x) est la pente du graphe en x. Règle des puissances : (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Règle du produit : (uv)′ = u′v + uv′. Règle de dérivation en chaîne : (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Là où f′(x) = 0, le graphe a une tangente horizontale : un maximum, un minimum ou un point selle.

Règle du produit

f′(x) = u′v + uv′ = e^x·(3x² + 1·x³)

Remplacer

f′(2) = 7,389·(12 + 8) = 147,8

Réponse

f′(2) = 147,8

6.Dérivées

Réponse: b = −3

Point et pente

f(−1) = 3

f′(x) = 2x − 4 → f′(−1) = −6

Tangente en x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 3 − (−6)·(−1) = −3

Réponse

b = −3

7.Méthodes numériques

Réponse: s = 410 m

Intégration numérique : découpe [a, b] en n bandes de largeur h = (b − a)/n avec les nœuds x₀ … xₙ. Méthode des trapèzes : T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Méthode de Simpson (n pair) : S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. L’erreur des trapèzes décroît comme h² (majoration (b − a)h²·M/12 avec M = max|f″|), celle de Simpson comme h⁴, donc Simpson est en général bien plus précise pour les mêmes nœuds.

Somme pondérée

8 + 4·7 + 2·11 + 4·12 + 17 = 123

Méthode de Simpson

s = (10/3)·123 = 410 m

Réponse

s = 410 m

8.Méthodes numériques

Réponse: |E| = 10,47

Résolution numérique de y′ = f(t, y) : la méthode d’Euler avance selon la pente au début de chaque pas : y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). La méthode de Heun (Euler amélioré) moyenne la pente au début et à une prédiction d’Euler : k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). La méthode de Runge–Kutta classique (RK4) combine quatre pentes : y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). L’erreur globale d’Euler est proportionnelle à h, celle de Heun à h², celle de RK4 à h⁴.

Pas d’Euler

y₅ = −12,828125

Valeur exacte

y(2,5) = −23,297482

Erreur globale

|E| = |−23,297482 + 12,828125| = 10,47

Graphique

Réponse

|E| = 10,47

Diviser h par deux divise à peu près par deux l’erreur de la méthode d’Euler.

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