Utilisez la méthode des nœuds pour trouver le courant IR3 dans R3 dans le sens de la flèche.
V1 = 9 VIs = 3 AR1 = 10 ΩR2 = 4 ΩR3 = 8 ΩR4 = 8 Ω
IR3 = A
4.Méthode des nœudsDifficile
La source de courant est réglée jusqu’à ce que le potentiel du nœud A vaille VA = 8,5 V. Utilisez la méthode des nœuds pour trouver le courant de la source Is (sens indiqué).
La bobine est parcourue par un courant permanent de 1 A. À t = 0, l’interrupteur ferme la boucle à travers R et la source est retirée, donc le courant de la bobine décroît à travers R. Trouvez la tension vR aux bornes de R à t = 5 ms.
i(0) = 1 AR = 15 ΩL = 33 mHt = 5 ms
vR = V
8.Transitoires RC et RLDifficile
Juste avant la fermeture de l’interrupteur à t = 0, le condensateur est chargé à 2 V avec la polarité indiquée. Combien de temps faut-il à vC pour atteindre 11 V ? Trouvez t.
Vs = 20 VR = 10 kΩC = 22 µFvC(0) = 2 V
t = ms
9.Impédance et phaseurs en alternatifMoyen
Un circuit RLC série est alimenté sous 50 V (efficaces), 500 Hz. Trouvez le facteur de puissance cos φ du circuit.
V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 100 µF
cos φ =
10.Impédance et phaseurs en alternatifDifficile
Un circuit RLC série est alimenté sous 24 V (efficaces), 60 Hz. Trouvez la tension efficace VC aux bornes du condensateur.
V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 100 µF
VC = V
11.Puissance alternative et facteur de puissanceMoyen
Un moteur monophasé absorbe 31 kW avec un facteur de puissance de 0,7 inductif sous 230 V. Trouvez la puissance réactive Q qu’il absorbe.
P = 31 kWpf = 0,7V = 230 V
Q = kvar
12.Puissance alternative et facteur de puissanceDifficile
Une charge monophasée absorbe 22 kW avec un facteur de puissance de 0,75 inductif sur une alimentation de 240 V, 60 Hz. Un condensateur de 100 µF est branché en parallèle sur la charge. Trouvez le nouveau facteur de puissance cos φ vu par l’alimentation.
P = 22 kWpf1 = 0,75V = 240 Vf = 60 HzC = 100 µF
cos φ =
13.Puissance triphaséeMoyen
Une charge équilibrée couplée en étoile (Y), d’impédance 20 + j15 Ω par phase, est branchée sur un réseau triphasé équilibré de tension composée 415 V. Trouvez la puissance active totale P absorbée par la charge, en kW.
VL = 415 VZ = 20 + j15 Ω par phase
P = kW
14.Puissance triphaséeDifficile
Une charge triphasée équilibrée absorbe 80 kW avec un facteur de puissance de 0,72 (inductif) sur un réseau de 415 V (tension composée), 50 Hz. Une batterie de condensateurs triphasée branchée en parallèle avec la charge doit relever le facteur de puissance global à 0,98 (inductif). La puissance active reste la même. Les condensateurs sont couplés en triangle (Δ). Trouvez la capacité Cph de chaque condensateur, en µF.
P = 80 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,98VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF
15.TransformateursMoyen
Un transformateur parfait de rapport N₁:N₂ = 2:1 a son enroulement primaire sous 240 V. Une résistance de 60 Ω est branchée aux bornes de l’enroulement secondaire. Trouvez le courant primaire I1.
N1:N2 = 2:1V1 = 240 VRL = 60 Ω
I1 = A
16.TransformateursDifficile
Un transformateur monophasé de 250 kVA a des pertes fer de 2000 W. À charge nominale et avec un facteur de puissance de 0,85 (inductif), son rendement est de 98 %. Trouvez les pertes cuivre à pleine charge Pcu,fl en watts.
S = 250 kVAPcore = 2000 Wpf = 0,85η = 98%
Pcu,fl = W
3Solutions
1.Résistances en série et en parallèle
Réponse: IR1 = 0,8571 A
Résistances en série et en parallèle : en série, le même courant traverse chaque résistance et R = R₁ + R₂ + …. En parallèle, chaque résistance a la même tension et 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Un réseau en échelle se réduit paire par paire jusqu’à une seule résistance équivalente.
Regrouper les résistances depuis l’extrémité
Commencez par l’extrémité la plus éloignée de la source et remontez vers elle. Des résistances parcourues par le même courant sont en série ; des résistances entre les deux mêmes nœuds sont en parallèle.
R3 + R4 = 15 + 15 = 30 Ω
R2 ∥ 30 = 20·30/(20+30) = 12 Ω
Req = R1 + 12 = 2 + 12 = 14 Ω
Courant fourni par la source
La source ne voit que Req, donc la loi d’Ohm donne le courant qu’elle fournit. Ce courant traverse R₁.
IR1 = V1/Req = 12/14 = 0,8571 A
Réponse
IR1 = 0,8571 A
2.Résistances en série et en parallèle
Réponse: IR1 = 0,4557 A
Résistances en série et en parallèle : en série, le même courant traverse chaque résistance et R = R₁ + R₂ + …. En parallèle, chaque résistance a la même tension et 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Un réseau en échelle se réduit paire par paire jusqu’à une seule résistance équivalente.
Regrouper les résistances depuis l’extrémité
Commencez par l’extrémité la plus éloignée de la source et remontez vers elle. Des résistances parcourues par le même courant sont en série ; des résistances entre les deux mêmes nœuds sont en parallèle.
R5 + R6 = 5 + 20 = 25 Ω
R4 ∥ 25 = 11,11 Ω
R3 + 11,11 = 13,11 Ω
R2 ∥ 13,11 = 7,919 Ω
Req = R1 + 7,919 = 25 + 7,919 = 32,92 Ω
Courant fourni par la source
La source ne voit que Req, donc la loi d’Ohm donne le courant qu’elle fournit. Ce courant traverse R₁.
IR1 = V1/Req = 15/32,92 = 0,4557 A
Réponse
IR1 = 0,4557 A
3.Méthode des nœuds
Réponse: IR3 = −1,136 A
Méthode des nœuds : choisissez un nœud de référence, nommez les potentiels inconnus, écrivez la loi des nœuds de Kirchhoff à chaque nœud inconnu avec la loi d’Ohm (I = ΔV/R), puis résolvez le système obtenu.
Poser les nœuds
La masse est le fil du bas. Les potentiels connus viennent directement des sources (V1 = 9 V). Inconnues : VA, VB.
Loi des nœuds au nœud A
Les courants qui quittent A par les résistances égalent le courant injecté dans A par les sources.
VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/4 + (VA − 9)/10 + (VA − VB)/8 = 0
0,475·VA − 0,125·VB = 0,9
Loi des nœuds au nœud B
Les courants qui quittent B par les résistances égalent le courant injecté dans B par les sources.
VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/8 + (VB − VA)/8 = 3
−0,125·VA + 0,25·VB = 3
Résoudre
Δ = (0,475)(0,25) − (−0,125)(−0,125) = 0,1031
VA = Δ1/Δ = 0,6/0,1031 = 5,818 V
VB = Δ2/Δ = 1,537/0,1031 = 14,91 V
Réponse
IR3 = (VA − VB)/R3 = (5,818 − 14,91)/8 = −1,136 A
4.Méthode des nœuds
Réponse: Is = 7,673 A
Méthode des nœuds : choisissez un nœud de référence, nommez les potentiels inconnus, écrivez la loi des nœuds de Kirchhoff à chaque nœud inconnu avec la loi d’Ohm (I = ΔV/R), puis résolvez le système obtenu.
Loi des nœuds en A
VA est connu, donc cette équation donne VB.
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
(8,5 − 18)/25 + 8,5/5 = (VB − 8,5)/8
1,32 = (VB − 8,5)/8 → VB = 19,06 V
Loi des nœuds en B
Les courants sortant de B par les résistances sont égaux au courant injecté dans B par les sources.
Is = (VB − VA)/R3 + VB/R4 = (19,06 − 8,5)/8 + 19,06/3 = 7,673 A
Réponse
Is = 7,673 A
5.Thévenin et Norton
Réponse: Rth = 25,22 Ω
Théorème de Thévenin : tout réseau linéaire à deux bornes se comporte comme une seule source de tension Vth en série avec une résistance Rth. Le théorème de Norton donne le même réseau sous forme d’une source de courant IN = Vth/Rth en parallèle avec Rth.
Trouver Rth avec toutes les sources éteintes
Remplacez les sources de tension par des courts-circuits et les sources de courant par des circuits ouverts, puis regardez le circuit depuis a–b.
R1 ∥ R2 = 15·8/(15+8) = 5,217 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5,217 + 20 = 25,22 Ω
6.Thévenin et Norton
Réponse: PL = 23,7 W
Théorème de Thévenin : tout réseau linéaire à deux bornes se comporte comme une seule source de tension Vth en série avec une résistance Rth. Le théorème de Norton donne le même réseau sous forme d’une source de courant IN = Vth/Rth en parallèle avec Rth.
Trouver Rth avec toutes les sources éteintes
Remplacez les sources de tension par des courts-circuits et les sources de courant par des circuits ouverts, puis regardez le circuit depuis a–b.
R1 ∥ R2 = 3·8/(3+8) = 2,182 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,182 + 12 = 14,18 Ω
Trouver Vth, la tension à vide
Avec a–b ouverts, le seul chemin pour Iₛ passe par R₃ vers le nœud A. Trouvez V_A par superposition de V₁ et Iₛ, puis ajoutez la chute de tension dans R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 10,91 + 2·2,182 = 15,27 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 15,27 + 2·12 = 39,27 V
Brancher la charge sur l’équivalent de Thévenin
La source de Thévenin et R_th en série se comportent exactement comme le circuit d’origine en a–b, donc la charge voit une simple boucle série.
IL = Vth/(Rth + RL) = 39,27/(14,18 + 30) = 0,8889 A
PL = IL²·RL = 0,8889²·30 = 23,7 W
7.Transitoires RC et RL
Réponse: vR = 1,545 V
Régimes transitoires du premier ordre : dans un circuit avec un condensateur ou une bobine, chaque tension et chaque courant passe exponentiellement de sa valeur initiale à sa valeur finale : x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, avec τ = RC ou τ = L/R. Après environ 5τ, le circuit est stabilisé.
Constante de temps
τ = L/R = 33 mH / 15 Ω = 2,2 ms
Décroissance du courant
i(t) = 1·e−5/2,2 = 0,103 A
vR = R·i = 15·0,103 = 1,545 V
Réponse
vR = 1,545 V
8.Transitoires RC et RL
Réponse: t = 152,5 ms
Régimes transitoires du premier ordre : dans un circuit avec un condensateur ou une bobine, chaque tension et chaque courant passe exponentiellement de sa valeur initiale à sa valeur finale : x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, avec τ = RC ou τ = L/R. Après environ 5τ, le circuit est stabilisé.
Valeur initiale, valeur finale, constante de temps
La tension d’un condensateur ne peut pas sauter : elle part de sa valeur stockée et tend vers la tension de la source.
t = τ·ln((2 − 20)/(11 − 20)) = 220·ln(2) = 152,5 ms
Réponse
t = 152,5 ms
9.Impédance et phaseurs en alternatif
Réponse: cos φ = 0,557
Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.
Réactances
XL = 62,83 Ω, XC = 3,183 Ω
Impédance
|Z| = √(40² + (59,65)²) = 71,82 Ω
Facteur de puissance
cos φ = R/|Z| = 40/71,82 = 0,557
Le circuit est inductif, donc le facteur de puissance est inductif (courant en retard).
Réponse
cos φ = 0,557
10.Impédance et phaseurs en alternatif
Réponse: VC = 6,791 V
Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.
Réactances
ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0,2 = 75,4 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·100·10⁻⁶) = 26,53 Ω
Impédance
En série, les impédances s’additionnent comme des nombres complexes : Z = R + j(XL − XC).
Le même courant traverse tous les éléments d’un circuit série.
I = V/|Z| = 24/93,75 = 0,256 A
Tension aux bornes du condensateur
VC = I·XC = 0,256·26,53 = 6,791 V
Réponse
VC = 6,791 V
11.Puissance alternative et facteur de puissance
Réponse: Q = 31,63 kvar
Puissance en alternatif : la puissance apparente S = V·I (VA) se partage entre la puissance active P = S·cos φ (W), qui fournit un travail utile, et la puissance réactive Q = S·sin φ (var), qui fait des allers-retours entre source et charge. Le facteur de puissance est cos φ. Un condensateur en parallèle fournit la puissance réactive sur place, donc le courant de ligne baisse pour la même puissance active.
Angle
φ = arccos(0,7) = 45,57°, tan φ = 1,02
Puissance réactive
Q = P·tan φ = 31·1,02 = 31,63 kvar
Réponse
Q = 31,63 kvar
12.Puissance alternative et facteur de puissance
Réponse: cos φ = 0,7873
Puissance en alternatif : la puissance apparente S = V·I (VA) se partage entre la puissance active P = S·cos φ (W), qui fournit un travail utile, et la puissance réactive Q = S·sin φ (var), qui fait des allers-retours entre source et charge. Le facteur de puissance est cos φ. Un condensateur en parallèle fournit la puissance réactive sur place, donc le courant de ligne baisse pour la même puissance active.
Puissance réactive avant et après
La puissance active P ne change pas ; seule la puissance réactive prélevée sur le réseau change.
Q1 = 22·tan(arccos 0,75) = 19,4 kvar
QC = V²·2πf·C = 240²·2π·60·100·10⁻⁶ = 2171 var = 2,171 kvar
Q2 = 19,4 − 2,171 = 17,23 kvar
Nouvelle puissance apparente
S2 = √(22² + 17,23²) = 27,94 kVA
Nouveau facteur de puissance
cos φ = P/S2 = 22/27,94 = 0,7873
Réponse
cos φ = 0,7873
13.Puissance triphasée
Réponse: P = 5,511 kW
Systèmes triphasés équilibrés : en couplage étoile (Y), la tension composée vaut √3 fois la tension simple, VL = √3·Vph, et le courant de ligne est égal au courant de phase. En couplage triangle (Δ), la tension composée est égale à la tension de phase et le courant de ligne vaut √3 fois le courant de phase, IL = √3·Iph. La puissance totale vaut trois fois la puissance d’une phase : P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Tension simple
Vph = 415/√3 = 239,6 V
Courant de phase
|Z| = √(20² + 15²) = 25 Ω
Iph = 239,6/25 = 9,584 A
Puissance active totale
Seule la partie résistive de chaque impédance absorbe de la puissance active.
P = 3·Iph²·R = 3·9,584²·20 = 5,511 kW
Réponse
P = 5,511 kW
Vérification : cos φ = R/|Z| = 0,8, et √3·VL·IL·cos φ donne la même puissance.
14.Puissance triphasée
Réponse: Cph = 375 µF
Systèmes triphasés équilibrés : en couplage étoile (Y), la tension composée vaut √3 fois la tension simple, VL = √3·Vph, et le courant de ligne est égal au courant de phase. En couplage triangle (Δ), la tension composée est égale à la tension de phase et le courant de ligne vaut √3 fois le courant de phase, IL = √3·Iph. La puissance totale vaut trois fois la puissance d’une phase : P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Compensation du facteur de puissance : les condensateurs fournissent localement de la puissance réactive, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Chacun des trois condensateurs fournit QC/3 = V²·ω·C, où V est la tension aux bornes de ce condensateur : VL dans une batterie en triangle, VL/√3 dans une batterie en étoile.
Puissance réactive avant et après
La puissance active ne change pas ; chaque facteur de puissance fixe donc la puissance réactive : Q = P·tan φ.
Q1 = 80·tan(acos 0,72) = 80·0,9639 = 77,11 kvar
Q2 = 80·tan(acos 0,98) = 80·0,2031 = 16,24 kvar
Puissance réactive fournie par les condensateurs
QC = Q1 − Q2 = 60,86 kvar
Capacité par phase
Dans une batterie en triangle, chaque condensateur est branché entre deux phases.
V = 415 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 20288/(314,2·415²) = 375 µF
Réponse
Cph = 375 µF
15.Transformateurs
Réponse: I1 = 1 A
Transformateur parfait : les tensions sont dans le rapport des nombres de spires et les courants dans le rapport inverse : V₁/V₂ = N₁/N₂ = a et I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a ; la puissance absorbée est donc égale à la puissance fournie, V₁·I₁ = V₂·I₂. Une impédance de charge Z au secondaire est vue comme a²·Z depuis le primaire.
Tension et courant secondaires
V2 = 240/2 = 120 V
I2 = 120/60 = 2 A
Courant primaire
Un transformateur parfait n’a pas de pertes : V₁·I₁ = V₂·I₂.
I1 = I2/2 = 1 A
Réponse
I1 = 1 A
Vérification : la charge vue du primaire vaut a²·RL = 240 Ω, et 240/240 donne le même courant.
16.Transformateurs
Réponse: Pcu,fl = 2337 W
Pertes d’un transformateur : les pertes fer (hystérésis et courants de Foucault) dépendent de la tension et sont les mêmes quelle que soit la charge. Les pertes cuivre dans les enroulements varient comme le carré du courant : à une fraction x de la charge nominale, elles valent x²·Pcu,fl. Rendement η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), avec Pout = x·S·pf. Le rendement est maximal pour la charge à laquelle les pertes cuivre égalent les pertes fer.