Trouvez la tension de Thévenin Vth vue des bornes a–b.
V1 = 15 VR1 = 3 ΩR2 = 20 ΩR3 = 20 Ω
Vth = V
6.Thévenin et NortonDifficile
Trouvez la tension de Thévenin Vth vue des bornes a–b.
V1 = 9 VIs = 6 AR1 = 20 ΩR2 = 20 ΩR3 = 12 Ω
Vth = V
7.Transitoires RC et RLMoyen
La source Vₛ charge le condensateur à travers R₁, et R₂ est branchée en parallèle avec C. Le condensateur est déchargé quand l’interrupteur se ferme à t = 0. Trouvez la tension du condensateur vC à t = 30 ms.
Vs = 24 VR1 = 6,8 kΩR2 = 3,3 kΩC = 22 µFt = 30 ms
vC = V
8.Transitoires RC et RLDifficile
Juste avant la fermeture de l’interrupteur à t = 0, le condensateur est chargé à 4 V avec la polarité indiquée. Combien de temps faut-il à vC pour atteindre 5 V ? Trouvez t.
Vs = 6 VR = 6,8 kΩC = 220 µFvC(0) = 4 V
t = ms
9.Impédance et phaseurs en alternatifMoyen
Un circuit RLC série est alimenté sous 230 V (efficaces), 200 Hz. Trouvez la puissance active P prélevée sur l’alimentation.
V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 250 mHC = 22 µF
P = W
10.Impédance et phaseurs en alternatifDifficile
Un circuit RLC série est alimenté sous 24 V (efficaces), 50 Hz. Trouvez la tension efficace VC aux bornes du condensateur.
V = 24 V (rms)f = 50 HzR = 25 ΩL = 50 mHC = 47 µF
VC = V
11.Puissance alternative et facteur de puissanceMoyen
Une charge inductive absorbe 6,5 A et 1170 W sur une alimentation monophasée de 240 V (efficace). Modélisez-la par une résistance R en série avec une réactance X. Trouvez R.
V = 240 VI = 6,5 AP = 1170 W
R = Ω
12.Puissance alternative et facteur de puissanceDifficile
Une source de 120 V (efficace), 1000 Hz a une impédance interne Zs = 10 + j10 Ω. L’impédance de charge ZL peut être choisie librement. La charge donnant la puissance maximale est constituée d’une résistance en série avec un condensateur. Trouvez la capacité C.
Vs = 120 V (rms)f = 1000 HzZs = 10 + j10 Ω
C = µF
13.Puissance triphaséeMoyen
Un moteur asynchrone triphasé fournit 30 kW de puissance mécanique utile à pleine charge. À cette charge, son rendement est de 91 % et son facteur de puissance vaut 0,85 (inductif). Le réseau a une tension composée de 400 V. Trouvez le courant de ligne IL.
Pout = 30 kWη = 91%cos φ = 0,85VL = 400 V
IL = A
14.Puissance triphaséeDifficile
Une charge triphasée équilibrée absorbe 200 kW avec un facteur de puissance de 0,72 (inductif) sur un réseau de 415 V (tension composée), 50 Hz. Une batterie de condensateurs triphasée branchée en parallèle avec la charge doit relever le facteur de puissance global à 0,95 (inductif). La puissance active reste la même. Les condensateurs sont couplés en étoile (Y). Trouvez la capacité Cph de chaque condensateur, en µF.
P = 200 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,95VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF
15.TransformateursMoyen
Un transformateur parfait de rapport N₁:N₂ = 2:1 a son enroulement primaire sous 480 V. Une résistance de 20 Ω est branchée aux bornes de l’enroulement secondaire. Trouvez le courant primaire I1.
N1:N2 = 2:1V1 = 480 VRL = 20 Ω
I1 = A
16.TransformateursDifficile
Un transformateur monophasé de 75 kVA a des pertes fer de 375 W. À charge nominale et avec un facteur de puissance de 0,85 (inductif), son rendement est de 98,2 %. Trouvez les pertes cuivre à pleine charge Pcu,fl en watts.
S = 75 kVAPcore = 375 Wpf = 0,85η = 98,2%
Pcu,fl = W
3Solutions
1.Résistances en série et en parallèle
Réponse: IR2 = 0,9412 A
Résistances en série et en parallèle : en série, le même courant traverse chaque résistance et R = R₁ + R₂ + …. En parallèle, chaque résistance a la même tension et 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Un réseau en échelle se réduit paire par paire jusqu’à une seule résistance équivalente.
Regrouper les résistances depuis l’extrémité
Commencez par l’extrémité la plus éloignée de la source et remontez vers elle. Des résistances parcourues par le même courant sont en série ; des résistances entre les deux mêmes nœuds sont en parallèle.
R3 + R4 = 20 + 12 = 32 Ω
R2 ∥ 32 = 6·32/(6+32) = 5,053 Ω
Req = R1 + 5,053 = 3 + 5,053 = 8,053 Ω
Courant fourni par la source
La source ne voit que Req, donc la loi d’Ohm donne le courant qu’elle fournit. Ce courant traverse R₁.
IR1 = V1/Req = 9/8,053 = 1,118 A
Courant dans R₂
Retranchez la chute de tension dans R₁ pour obtenir la tension au nœud A, qui est la tension aux bornes de R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 1,118·3 = 5,647 V
IR2 = VA/R2 = 5,647/6 = 0,9412 A
Réponse
IR2 = 0,9412 A
2.Résistances en série et en parallèle
Réponse: Req = 5,986 Ω
Résistances en série et en parallèle : en série, le même courant traverse chaque résistance et R = R₁ + R₂ + …. En parallèle, chaque résistance a la même tension et 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Un réseau en échelle se réduit paire par paire jusqu’à une seule résistance équivalente.
Regrouper les résistances depuis l’extrémité
Commencez par l’extrémité la plus éloignée de la source et remontez vers elle. Des résistances parcourues par le même courant sont en série ; des résistances entre les deux mêmes nœuds sont en parallèle.
R5 + R6 = 5 + 25 = 30 Ω
R4 ∥ 30 = 1,875 Ω
R3 + 1,875 = 11,88 Ω
R2 ∥ 11,88 = 3,986 Ω
Req = R1 + 3,986 = 2 + 3,986 = 5,986 Ω
Réponse
Req = 5,986 Ω
3.Méthode des nœuds
Réponse: IR1 = 1,353 A
Méthode des nœuds : choisissez un nœud de référence, nommez les potentiels inconnus, écrivez la loi des nœuds de Kirchhoff à chaque nœud inconnu avec la loi d’Ohm (I = ΔV/R), puis résolvez le système obtenu.
Poser les nœuds
La masse est le fil du bas. Les potentiels connus viennent directement des sources (V1 = 18 V). Inconnues : VA, VB.
Loi des nœuds au nœud A
Les courants qui quittent A par les résistances égalent le courant injecté dans A par les sources.
VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/4 + (VA − 18)/5 + (VA − VB)/5 = 0
0,65·VA − 0,2·VB = 3,6
Loi des nœuds au nœud B
Les courants qui quittent B par les résistances égalent le courant injecté dans B par les sources.
VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/12 + (VB − VA)/5 = 3
−0,2·VA + 0,2833·VB = 3
Résoudre
Δ = (0,65)(0,2833) − (−0,2)(−0,2) = 0,1442
VA = Δ1/Δ = 1,62/0,1442 = 11,24 V
VB = Δ2/Δ = 2,67/0,1442 = 18,52 V
Réponse
IR1 = (V1 − VA)/R1 = (18 − 11,24)/5 = 1,353 A
4.Méthode des nœuds
Réponse: VB = −0,3454 V
Méthode des nœuds : choisissez un nœud de référence, nommez les potentiels inconnus, écrivez la loi des nœuds de Kirchhoff à chaque nœud inconnu avec la loi d’Ohm (I = ΔV/R), puis résolvez le système obtenu.
Poser les nœuds
La masse est le fil du bas. Les potentiels connus viennent directement des sources (V1 = 24 V, V2 = 9 V). Inconnues : VA, VB.
Loi des nœuds au nœud A
Les courants qui quittent A par les résistances égalent le courant injecté dans A par les sources.
VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/30 + (VA − 24)/25 + (VA − VB)/4 = 0
0,3233·VA − 0,25·VB = 0,96
Loi des nœuds au nœud B
Les courants qui quittent B par les résistances égalent le courant injecté dans B par les sources.
VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/3 + (VB − VA)/4 + (VB − 9)/15 = (−1,5)
−0,25·VA + 0,65·VB = −0,9
Résoudre
Δ = (0,3233)(0,65) − (−0,25)(−0,25) = 0,1477
VA = Δ1/Δ = 0,399/0,1477 = 2,702 V
VB = Δ2/Δ = −0,051/0,1477 = −0,3454 V
Réponse
VB = −0,3454 V
5.Thévenin et Norton
Réponse: Vth = 13,04 V
Théorème de Thévenin : tout réseau linéaire à deux bornes se comporte comme une seule source de tension Vth en série avec une résistance Rth. Le théorème de Norton donne le même réseau sous forme d’une source de courant IN = Vth/Rth en parallèle avec Rth.
Trouver Rth avec toutes les sources éteintes
Remplacez les sources de tension par des courts-circuits et les sources de courant par des circuits ouverts, puis regardez le circuit depuis a–b.
R1 ∥ R2 = 3·20/(3+20) = 2,609 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,609 + 20 = 22,61 Ω
Trouver Vth, la tension à vide
Avec a–b ouverts, aucun courant ne traverse R₃, donc aucune chute de tension et V_b = V_A. R₁ et R₂ forment un pont diviseur.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 15·20/(3+20) = 13,04 V
6.Thévenin et Norton
Réponse: Vth = 136,5 V
Théorème de Thévenin : tout réseau linéaire à deux bornes se comporte comme une seule source de tension Vth en série avec une résistance Rth. Le théorème de Norton donne le même réseau sous forme d’une source de courant IN = Vth/Rth en parallèle avec Rth.
Trouver Rth avec toutes les sources éteintes
Remplacez les sources de tension par des courts-circuits et les sources de courant par des circuits ouverts, puis regardez le circuit depuis a–b.
R1 ∥ R2 = 20·20/(20+20) = 10 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 10 + 12 = 22 Ω
Trouver Vth, la tension à vide
Avec a–b ouverts, le seul chemin pour Iₛ passe par R₃ vers le nœud A. Trouvez V_A par superposition de V₁ et Iₛ, puis ajoutez la chute de tension dans R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4,5 + 6·10 = 64,5 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 64,5 + 6·12 = 136,5 V
7.Transitoires RC et RL
Réponse: vC = 3,597 V
Régimes transitoires du premier ordre : dans un circuit avec un condensateur ou une bobine, chaque tension et chaque courant passe exponentiellement de sa valeur initiale à sa valeur finale : x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, avec τ = RC ou τ = L/R. Après environ 5τ, le circuit est stabilisé.
Équivalent de Thévenin vu par le condensateur
Court-circuitez la source pour trouver Rth ; ouvrez le condensateur pour trouver la tension vers laquelle il tendra.
Rth = R1 ∥ R2 = 6,8·3,3/(6,8 + 3,3) = 2,222 kΩ
vC(∞) = 24·3,3/(6,8 + 3,3) = 7,842 V
Constante de temps
τ = Rth·C = 2,222·22 = 48,88 ms
Courbe de charge
vC(t) = 7,842·(1 − e−30/48,88) = 3,597 V
Réponse
vC = 3,597 V
8.Transitoires RC et RL
Réponse: t = 1037 ms
Régimes transitoires du premier ordre : dans un circuit avec un condensateur ou une bobine, chaque tension et chaque courant passe exponentiellement de sa valeur initiale à sa valeur finale : x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, avec τ = RC ou τ = L/R. Après environ 5τ, le circuit est stabilisé.
Valeur initiale, valeur finale, constante de temps
La tension d’un condensateur ne peut pas sauter : elle part de sa valeur stockée et tend vers la tension de la source.
Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.
Réactances
XL = 314,2 Ω, XC = 36,17 Ω
Impédance
|Z| = √(60² + (278)²) = 284,4 Ω
Puissance active
Les bobines et les condensateurs ne font que stocker et restituer de l’énergie ; la résistance absorbe toute la puissance active.
I = 230/284,4 = 0,8088 A
P = I²·R = 0,8088²·60 = 39,24 W
Réponse
P = 39,24 W
10.Impédance et phaseurs en alternatif
Réponse: VC = 28,16 V
Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.
Réactances
ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s
XL = ωL = 314,2·0,05 = 15,71 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314,2·47·10⁻⁶) = 67,73 Ω
Impédance
En série, les impédances s’additionnent comme des nombres complexes : Z = R + j(XL − XC).
Le même courant traverse tous les éléments d’un circuit série.
I = V/|Z| = 24/57,71 = 0,4158 A
Tension aux bornes du condensateur
VC = I·XC = 0,4158·67,73 = 28,16 V
Réponse
VC = 28,16 V
11.Puissance alternative et facteur de puissance
Réponse: R = 27,69 Ω
Puissance en alternatif : la puissance apparente S = V·I (VA) se partage entre la puissance active P = S·cos φ (W), qui fournit un travail utile, et la puissance réactive Q = S·sin φ (var), qui fait des allers-retours entre source et charge. Le facteur de puissance est cos φ. Un condensateur en parallèle fournit la puissance réactive sur place, donc le courant de ligne baisse pour la même puissance active.
Résistance d’après la puissance active
R = P/I² = 1170/6,5² = 27,69 Ω
Réponse
R = 27,69 Ω
12.Puissance alternative et facteur de puissance
Réponse: C = 15,92 µF
Puissance en alternatif : la puissance apparente S = V·I (VA) se partage entre la puissance active P = S·cos φ (W), qui fournit un travail utile, et la puissance réactive Q = S·sin φ (var), qui fait des allers-retours entre source et charge. Le facteur de puissance est cos φ. Un condensateur en parallèle fournit la puissance réactive sur place, donc le courant de ligne baisse pour la même puissance active.
Adaptation conjuguée
La réactance de la charge compense celle de la source, et la résistance de la charge est égale à celle de la source.
ZL = Zs* = 10 − j10 Ω
Capacité
XC = 10 Ω → C = 1/(2π·1000·10) = 15,92 µF
Réponse
C = 15,92 µF
13.Puissance triphasée
Réponse: IL = 55,98 A
Systèmes triphasés équilibrés : en couplage étoile (Y), la tension composée vaut √3 fois la tension simple, VL = √3·Vph, et le courant de ligne est égal au courant de phase. En couplage triangle (Δ), la tension composée est égale à la tension de phase et le courant de ligne vaut √3 fois le courant de phase, IL = √3·Iph. La puissance totale vaut trois fois la puissance d’une phase : P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Puissance électrique absorbée
Pin = Pout/η = 30/0,91 = 32,97 kW
Courant de ligne
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 32967/(√3·400·0,85) = 55,98 A
Réponse
IL = 55,98 A
14.Puissance triphasée
Réponse: Cph = 2348 µF
Systèmes triphasés équilibrés : en couplage étoile (Y), la tension composée vaut √3 fois la tension simple, VL = √3·Vph, et le courant de ligne est égal au courant de phase. En couplage triangle (Δ), la tension composée est égale à la tension de phase et le courant de ligne vaut √3 fois le courant de phase, IL = √3·Iph. La puissance totale vaut trois fois la puissance d’une phase : P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Compensation du facteur de puissance : les condensateurs fournissent localement de la puissance réactive, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Chacun des trois condensateurs fournit QC/3 = V²·ω·C, où V est la tension aux bornes de ce condensateur : VL dans une batterie en triangle, VL/√3 dans une batterie en étoile.
Puissance réactive avant et après
La puissance active ne change pas ; chaque facteur de puissance fixe donc la puissance réactive : Q = P·tan φ.
Q1 = 200·tan(acos 0,72) = 200·0,9639 = 192,8 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0,95) = 200·0,3287 = 65,74 kvar
Puissance réactive fournie par les condensateurs
QC = Q1 − Q2 = 127 kvar
Capacité par phase
Dans une batterie en étoile, chaque condensateur est branché entre une phase et le point neutre.
Transformateur parfait : les tensions sont dans le rapport des nombres de spires et les courants dans le rapport inverse : V₁/V₂ = N₁/N₂ = a et I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a ; la puissance absorbée est donc égale à la puissance fournie, V₁·I₁ = V₂·I₂. Une impédance de charge Z au secondaire est vue comme a²·Z depuis le primaire.
Tension et courant secondaires
V2 = 480/2 = 240 V
I2 = 240/20 = 12 A
Courant primaire
Un transformateur parfait n’a pas de pertes : V₁·I₁ = V₂·I₂.
I1 = I2/2 = 6 A
Réponse
I1 = 6 A
Vérification : la charge vue du primaire vaut a²·RL = 80 Ω, et 480/80 donne le même courant.
16.Transformateurs
Réponse: Pcu,fl = 793,5 W
Pertes d’un transformateur : les pertes fer (hystérésis et courants de Foucault) dépendent de la tension et sont les mêmes quelle que soit la charge. Les pertes cuivre dans les enroulements varient comme le carré du courant : à une fraction x de la charge nominale, elles valent x²·Pcu,fl. Rendement η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), avec Pout = x·S·pf. Le rendement est maximal pour la charge à laquelle les pertes cuivre égalent les pertes fer.