La source Vₛ charge le condensateur à travers R₁, et R₂ est branchée en parallèle avec C. Le condensateur est déchargé quand l’interrupteur se ferme à t = 0. Trouvez la tension du condensateur vC à t = 150 ms.
Vs = 10 VR1 = 4,7 kΩR2 = 6,8 kΩC = 33 µFt = 150 ms
vC = V
8.Transitoires RC et RLDifficile
Un temporisateur commence à t = 0 à charger un condensateur déchargé à travers une résistance à partir d’une alimentation de 15 V. Il doit se déclencher quand la tension du condensateur atteint 9 V, exactement 50 ms après le départ. Avec C = 47 µF, trouvez la résistance R nécessaire.
Vs = 15 VVth = 9 VT = 50 msC = 47 µF
R = kΩ
9.Impédance et phaseurs en alternatifMoyen
Un circuit RLC série est alimenté sous 12 V (efficaces), 1000 Hz. Trouvez le courant efficace I.
V = 12 V (rms)f = 1000 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 4,7 µF
I = A
10.Impédance et phaseurs en alternatifDifficile
Un circuit RLC série est alimenté sous 230 V (efficaces), 100 Hz. Trouvez la fréquence de résonance f0 du circuit.
V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 80 ΩL = 250 mHC = 47 µF
f0 = Hz
11.Puissance alternative et facteur de puissanceMoyen
Une charge d’impédance Z = 8 + j6 Ω est branchée sur une alimentation monophasée de 240 V (efficace). Trouvez la puissance active P qu’elle absorbe.
V = 240 VZ = 8 + j6 Ω
P = W
12.Puissance alternative et facteur de puissanceDifficile
Une charge monophasée absorbe 22 kW avec un facteur de puissance de 0,6 inductif sur une alimentation de 400 V, 50 Hz. Un condensateur de 150 µF est branché en parallèle sur la charge. Trouvez le nouveau courant de ligne I.
P = 22 kWpf1 = 0,6V = 400 Vf = 50 HzC = 150 µF
I = A
13.Puissance triphaséeMoyen
Un moteur asynchrone triphasé fournit 45 kW de puissance mécanique utile à pleine charge. À cette charge, son rendement est de 88 % et son facteur de puissance vaut 0,84 (inductif). Le réseau a une tension composée de 480 V. Trouvez le courant de ligne IL.
Pout = 45 kWη = 88%cos φ = 0,84VL = 480 V
IL = A
14.Puissance triphaséeDifficile
Une charge triphasée équilibrée absorbe 200 kW avec un facteur de puissance de 0,65 (inductif) sur un réseau de 480 V (tension composée), 60 Hz. Une batterie de condensateurs triphasée branchée en parallèle avec la charge doit relever le facteur de puissance global à 0,9 (inductif). La puissance active reste la même. Trouvez la puissance réactive totale QC que doit fournir la batterie de condensateurs, en kvar.
P = 200 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,9VL = 480 Vf = 60 Hz
QC = kvar
15.TransformateursMoyen
Un transformateur monophasé de 50 kVA, 480/240 V fonctionne à sa charge nominale. Considérez-le comme parfait. Trouvez le courant ILV dans l’enroulement basse tension.
S = 50 kVAV1 = 480 VV2 = 240 V
ILV = A
16.TransformateursDifficile
Un transformateur monophasé de 100 kVA a des pertes fer de 600 W. À charge nominale et avec un facteur de puissance de 0,95 (inductif), son rendement est de 97 %. Trouvez les pertes cuivre à pleine charge Pcu,fl en watts.
S = 100 kVAPcore = 600 Wpf = 0,95η = 97%
Pcu,fl = W
3Solutions
1.Résistances en série et en parallèle
Réponse: Req = 13,54 Ω
Résistances en série et en parallèle : en série, le même courant traverse chaque résistance et R = R₁ + R₂ + …. En parallèle, chaque résistance a la même tension et 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Un réseau en échelle se réduit paire par paire jusqu’à une seule résistance équivalente.
Regrouper les résistances depuis l’extrémité
Commencez par l’extrémité la plus éloignée de la source et remontez vers elle. Des résistances parcourues par le même courant sont en série ; des résistances entre les deux mêmes nœuds sont en parallèle.
R3 + R4 = 8 + 10 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 8·18/(8+18) = 5,538 Ω
Req = R1 + 5,538 = 8 + 5,538 = 13,54 Ω
Réponse
Req = 13,54 Ω
2.Résistances en série et en parallèle
Réponse: IR2 = 0,1498 A
Résistances en série et en parallèle : en série, le même courant traverse chaque résistance et R = R₁ + R₂ + …. En parallèle, chaque résistance a la même tension et 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Un réseau en échelle se réduit paire par paire jusqu’à une seule résistance équivalente.
Regrouper les résistances depuis l’extrémité
Commencez par l’extrémité la plus éloignée de la source et remontez vers elle. Des résistances parcourues par le même courant sont en série ; des résistances entre les deux mêmes nœuds sont en parallèle.
R5 + R6 = 8 + 6 = 14 Ω
R4 ∥ 14 = 2,471 Ω
R3 + 2,471 = 12,47 Ω
R2 ∥ 12,47 = 8,32 Ω
Req = R1 + 8,32 = 25 + 8,32 = 33,32 Ω
Courant fourni par la source
La source ne voit que Req, donc la loi d’Ohm donne le courant qu’elle fournit. Ce courant traverse R₁.
IR1 = V1/Req = 15/33,32 = 0,4502 A
Courant dans R₂
Retranchez la chute de tension dans R₁ pour obtenir la tension au nœud A, qui est la tension aux bornes de R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 15 − 0,4502·25 = 3,746 V
IR2 = VA/R2 = 3,746/25 = 0,1498 A
Réponse
IR2 = 0,1498 A
3.Méthode des nœuds
Réponse: PIs = 72,71 W
Méthode des nœuds : choisissez un nœud de référence, nommez les potentiels inconnus, écrivez la loi des nœuds de Kirchhoff à chaque nœud inconnu avec la loi d’Ohm (I = ΔV/R), puis résolvez le système obtenu.
Loi des nœuds au nœud A
Les courants qui quittent A par les résistances égalent le courant injecté dans A par les sources.
VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/2 + (VA − 15)/2 + (VA − VB)/10 = 0
1,1·VA − 0,1·VB = 7,5
Loi des nœuds au nœud B
Les courants qui quittent B par les résistances égalent le courant injecté dans B par les sources.
VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/6 + (VB − VA)/10 = 4
−0,1·VA + 0,2667·VB = 4
Résoudre
Δ = (1,1)(0,2667) − (−0,1)(−0,1) = 0,2833
VA = Δ1/Δ = 2,4/0,2833 = 8,471 V
VB = Δ2/Δ = 5,15/0,2833 = 18,18 V
Puissance fournie par la source de courant
La source injecte Iₛ vers le haut dans le nœud B, de la masse (0 V) à VB. Une source dont le courant sort par sa borne + fournit P = V·I.
PIs = VB·Is = 18,18·4 = 72,71 W
Réponse
PIs = 72,71 W
4.Méthode des nœuds
Réponse: VB = 4,028 V
Méthode des nœuds : choisissez un nœud de référence, nommez les potentiels inconnus, écrivez la loi des nœuds de Kirchhoff à chaque nœud inconnu avec la loi d’Ohm (I = ΔV/R), puis résolvez le système obtenu.
Poser les nœuds
La masse est le fil du bas. Les potentiels connus viennent directement des sources (V1 = 9 V, V2 = −18 V). Inconnues : VA, VB.
Loi des nœuds au nœud A
Les courants qui quittent A par les résistances égalent le courant injecté dans A par les sources.
VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/2 + (VA − 9)/4 + (VA − VB)/15 = 0
0,8167·VA − 0,06667·VB = 2,25
Loi des nœuds au nœud B
Les courants qui quittent B par les résistances égalent le courant injecté dans B par les sources.
VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/12 + (VB − VA)/15 + (VB − (−18))/20 = 1,5
−0,06667·VA + 0,2·VB = 0,6
Résoudre
Δ = (0,8167)(0,2) − (−0,06667)(−0,06667) = 0,1589
VA = Δ1/Δ = 0,49/0,1589 = 3,084 V
VB = Δ2/Δ = 0,64/0,1589 = 4,028 V
Réponse
VB = 4,028 V
5.Thévenin et Norton
Réponse: IL = 0,1286 A
Théorème de Thévenin : tout réseau linéaire à deux bornes se comporte comme une seule source de tension Vth en série avec une résistance Rth. Le théorème de Norton donne le même réseau sous forme d’une source de courant IN = Vth/Rth en parallèle avec Rth.
Trouver Rth avec toutes les sources éteintes
Remplacez les sources de tension par des courts-circuits et les sources de courant par des circuits ouverts, puis regardez le circuit depuis a–b.
R1 ∥ R2 = 20·12/(20+12) = 7,5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 7,5 + 2 = 9,5 Ω
Trouver Vth, la tension à vide
Avec a–b ouverts, aucun courant ne traverse R₃, donc aucune chute de tension et V_b = V_A. R₁ et R₂ forment un pont diviseur.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 6·12/(20+12) = 2,25 V
Brancher la charge sur l’équivalent de Thévenin
La source de Thévenin et R_th en série se comportent exactement comme le circuit d’origine en a–b, donc la charge voit une simple boucle série.
IL = Vth/(Rth + RL) = 2,25/(9,5 + 8) = 0,1286 A
6.Thévenin et Norton
Réponse: PL = 34,9 W
Théorème de Thévenin : tout réseau linéaire à deux bornes se comporte comme une seule source de tension Vth en série avec une résistance Rth. Le théorème de Norton donne le même réseau sous forme d’une source de courant IN = Vth/Rth en parallèle avec Rth.
Trouver Rth avec toutes les sources éteintes
Remplacez les sources de tension par des courts-circuits et les sources de courant par des circuits ouverts, puis regardez le circuit depuis a–b.
R1 ∥ R2 = 4·25/(4+25) = 3,448 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,448 + 20 = 23,45 Ω
Trouver Vth, la tension à vide
Avec a–b ouverts, le seul chemin pour Iₛ passe par R₃ vers le nœud A. Trouvez V_A par superposition de V₁ et Iₛ, puis ajoutez la chute de tension dans R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 10,34 + 2·3,448 = 17,24 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 17,24 + 2·20 = 57,24 V
Brancher la charge sur l’équivalent de Thévenin
La source de Thévenin et R_th en série se comportent exactement comme le circuit d’origine en a–b, donc la charge voit une simple boucle série.
IL = Vth/(Rth + RL) = 57,24/(23,45 + 25) = 1,181 A
PL = IL²·RL = 1,181²·25 = 34,9 W
7.Transitoires RC et RL
Réponse: vC = 4,761 V
Régimes transitoires du premier ordre : dans un circuit avec un condensateur ou une bobine, chaque tension et chaque courant passe exponentiellement de sa valeur initiale à sa valeur finale : x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, avec τ = RC ou τ = L/R. Après environ 5τ, le circuit est stabilisé.
Équivalent de Thévenin vu par le condensateur
Court-circuitez la source pour trouver Rth ; ouvrez le condensateur pour trouver la tension vers laquelle il tendra.
Rth = R1 ∥ R2 = 4,7·6,8/(4,7 + 6,8) = 2,779 kΩ
vC(∞) = 10·6,8/(4,7 + 6,8) = 5,913 V
Constante de temps
τ = Rth·C = 2,779·33 = 91,71 ms
Courbe de charge
vC(t) = 5,913·(1 − e−150/91,71) = 4,761 V
Réponse
vC = 4,761 V
8.Transitoires RC et RL
Réponse: R = 1,161 kΩ
Régimes transitoires du premier ordre : dans un circuit avec un condensateur ou une bobine, chaque tension et chaque courant passe exponentiellement de sa valeur initiale à sa valeur finale : x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, avec τ = RC ou τ = L/R. Après environ 5τ, le circuit est stabilisé.
Constante de temps requise
9 = 15·(1 − e−50/τ) → τ = 50/ln(15/(15 − 9))
τ = 50/0,9163 = 54,57 ms
Résistance
Des kΩ multipliés par des µF donnent des millisecondes.
R = τ/C = 54,57/47 = 1,161 kΩ
Réponse
R = 1,161 kΩ
9.Impédance et phaseurs en alternatif
Réponse: I = 0,1198 A
Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.
Réactances
ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0,02 = 125,7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·4,7·10⁻⁶) = 33,86 Ω
Impédance
En série, les impédances s’additionnent comme des nombres complexes : Z = R + j(XL − XC).
Le même courant traverse tous les éléments d’un circuit série.
I = V/|Z| = 12/100,1 = 0,1198 A
Réponse
I = 0,1198 A
10.Impédance et phaseurs en alternatif
Réponse: f0 = 46,43 Hz
Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.
Résonance
À la résonance, les réactances inductive et capacitive s’annulent : ωL = 1/(ωC). La fréquence d’alimentation n’intervient pas.
Puissance en alternatif : la puissance apparente S = V·I (VA) se partage entre la puissance active P = S·cos φ (W), qui fournit un travail utile, et la puissance réactive Q = S·sin φ (var), qui fait des allers-retours entre source et charge. Le facteur de puissance est cos φ. Un condensateur en parallèle fournit la puissance réactive sur place, donc le courant de ligne baisse pour la même puissance active.
Courant
|Z| = √(8² + 6²) = 10 Ω
I = V/|Z| = 240/10 = 24 A
Puissance active
P = I²·R = 24²·8 = 4608 W
Réponse
P = 4608 W
12.Puissance alternative et facteur de puissance
Réponse: I = 77,42 A
Puissance en alternatif : la puissance apparente S = V·I (VA) se partage entre la puissance active P = S·cos φ (W), qui fournit un travail utile, et la puissance réactive Q = S·sin φ (var), qui fait des allers-retours entre source et charge. Le facteur de puissance est cos φ. Un condensateur en parallèle fournit la puissance réactive sur place, donc le courant de ligne baisse pour la même puissance active.
Puissance réactive avant et après
La puissance active P ne change pas ; seule la puissance réactive prélevée sur le réseau change.
Q1 = 22·tan(arccos 0,6) = 29,33 kvar
QC = V²·2πf·C = 400²·2π·50·150·10⁻⁶ = 7540 var = 7,54 kvar
Q2 = 29,33 − 7,54 = 21,79 kvar
Nouvelle puissance apparente
S2 = √(22² + 21,79²) = 30,97 kVA
Nouveau courant de ligne
I = S2/V = 30967/400 = 77,42 A
Réponse
I = 77,42 A
13.Puissance triphasée
Réponse: IL = 73,22 A
Systèmes triphasés équilibrés : en couplage étoile (Y), la tension composée vaut √3 fois la tension simple, VL = √3·Vph, et le courant de ligne est égal au courant de phase. En couplage triangle (Δ), la tension composée est égale à la tension de phase et le courant de ligne vaut √3 fois le courant de phase, IL = √3·Iph. La puissance totale vaut trois fois la puissance d’une phase : P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Puissance électrique absorbée
Pin = Pout/η = 45/0,88 = 51,14 kW
Courant de ligne
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 51136/(√3·480·0,84) = 73,22 A
Réponse
IL = 73,22 A
14.Puissance triphasée
Réponse: QC = 137 kvar
Systèmes triphasés équilibrés : en couplage étoile (Y), la tension composée vaut √3 fois la tension simple, VL = √3·Vph, et le courant de ligne est égal au courant de phase. En couplage triangle (Δ), la tension composée est égale à la tension de phase et le courant de ligne vaut √3 fois le courant de phase, IL = √3·Iph. La puissance totale vaut trois fois la puissance d’une phase : P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Compensation du facteur de puissance : les condensateurs fournissent localement de la puissance réactive, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Chacun des trois condensateurs fournit QC/3 = V²·ω·C, où V est la tension aux bornes de ce condensateur : VL dans une batterie en triangle, VL/√3 dans une batterie en étoile.
Puissance réactive avant et après
La puissance active ne change pas ; chaque facteur de puissance fixe donc la puissance réactive : Q = P·tan φ.
Q1 = 200·tan(acos 0,65) = 200·1,169 = 233,8 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0,9) = 200·0,4843 = 96,86 kvar
Puissance réactive fournie par les condensateurs
QC = Q1 − Q2 = 137 kvar
Réponse
QC = 137 kvar
15.Transformateurs
Réponse: ILV = 208,3 A
Transformateur parfait : les tensions sont dans le rapport des nombres de spires et les courants dans le rapport inverse : V₁/V₂ = N₁/N₂ = a et I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a ; la puissance absorbée est donc égale à la puissance fournie, V₁·I₁ = V₂·I₂. Une impédance de charge Z au secondaire est vue comme a²·Z depuis le primaire.
Courant nominal
Les deux enroulements transmettent la même puissance apparente.
ILV = S/V = 50000/240 = 208,3 A
Réponse
ILV = 208,3 A
16.Transformateurs
Réponse: Pcu,fl = 2338 W
Pertes d’un transformateur : les pertes fer (hystérésis et courants de Foucault) dépendent de la tension et sont les mêmes quelle que soit la charge. Les pertes cuivre dans les enroulements varient comme le carré du courant : à une fraction x de la charge nominale, elles valent x²·Pcu,fl. Rendement η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), avec Pout = x·S·pf. Le rendement est maximal pour la charge à laquelle les pertes cuivre égalent les pertes fer.