La source de tension Vₛ entre A et B a sa borne + en B, donc elle impose VB − VA = Vₛ. Utilisez la méthode des nœuds avec un super-nœud pour trouver le courant Ix dans la source de tension, de A vers B comme l’indique la flèche.
Is = 4 AVs = 5 VR1 = 10 ΩR2 = 4 Ω
Ix = A
4.Méthode des nœudsDifficile
Utilisez la méthode des nœuds pour trouver le courant IR4 dans R4 dans le sens de la flèche.
La bobine n’est parcourue par aucun courant avant la fermeture de l’interrupteur à t = 0. Trouvez le courant i à t = 1 ms.
Vs = 9 VR = 15 ΩL = 10 mHt = 1 ms
i = A
8.Transitoires RC et RLDifficile
Juste avant la fermeture de l’interrupteur à t = 0, le condensateur est chargé à 6 V avec la polarité indiquée. Trouvez la tension du condensateur vC à t = 120 ms.
Vs = 24 VR = 10 kΩC = 22 µFvC(0) = 6 Vt = 120 ms
vC = V
9.Impédance et phaseurs en alternatifMoyen
Un circuit RLC série est alimenté sous 50 V (efficaces), 60 Hz. Trouvez la puissance active P prélevée sur l’alimentation.
V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 10 µF
P = W
10.Impédance et phaseurs en alternatifDifficile
Un circuit RLC série a R = 15 Ω, L = 2 mH et C = 2,2 µF. Trouvez son facteur de qualité Q à la résonance.
R = 15 ΩL = 2 mHC = 2,2 µF
Q =
11.Puissance alternative et facteur de puissanceMoyen
Deux charges sont branchées en parallèle sur une alimentation monophasée de 240 V : une charge de 19 kW avec un facteur de puissance de 0,85 inductif et un radiateur de 23 kW (facteur de puissance unitaire). Trouvez le facteur de puissance global cos φ vu par l’alimentation.
12.Puissance alternative et facteur de puissanceDifficile
Un transformateur monophasé de 200 kVA alimente une charge de 92 kW avec un facteur de puissance de 0,7 inductif. Quelle puissance active supplémentaire ΔP peut-on ajouter sous forme de charge résistive (facteur de puissance unitaire) avant que le transformateur atteigne sa puissance nominale en kVA ?
Smax = 200 kVAP1 = 92 kWpf1 = 0,7
ΔP = kW
13.Puissance triphaséeMoyen
Une charge équilibrée couplée en étoile (Y), d’impédance 5 + j12 Ω par phase, est branchée sur un réseau triphasé équilibré de tension composée 400 V. Trouvez la puissance active totale P absorbée par la charge, en kW.
VL = 400 VZ = 5 + j12 Ω par phase
P = kW
14.Puissance triphaséeDifficile
Une charge triphasée équilibrée absorbe 120 kW avec un facteur de puissance de 0,78 (inductif) sur un réseau de 480 V (tension composée), 60 Hz. Une batterie de condensateurs triphasée branchée en parallèle avec la charge doit relever le facteur de puissance global à 0,98 (inductif). La puissance active reste la même. Les condensateurs sont couplés en étoile (Y). Trouvez la capacité Cph de chaque condensateur, en µF.
P = 120 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,98VL = 480 Vf = 60 Hz
Cph = µF
15.TransformateursMoyen
Un transformateur parfait de rapport N₁:N₂ = 2:1 a son enroulement primaire sous 480 V. Une résistance de 40 Ω est branchée aux bornes de l’enroulement secondaire. Trouvez le courant primaire I1.
N1:N2 = 2:1V1 = 480 VRL = 40 Ω
I1 = A
16.TransformateursDifficile
Un transformateur monophasé de 250 kVA a des pertes fer de 2000 W. À charge nominale et avec un facteur de puissance de 0,95 (inductif), son rendement est de 97,5 %. Trouvez les pertes cuivre à pleine charge Pcu,fl en watts.
S = 250 kVAPcore = 2000 Wpf = 0,95η = 97,5%
Pcu,fl = W
3Solutions
1.Résistances en série et en parallèle
Réponse: IR2 = 1,582 A
Résistances en série et en parallèle : en série, le même courant traverse chaque résistance et R = R₁ + R₂ + …. En parallèle, chaque résistance a la même tension et 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Un réseau en échelle se réduit paire par paire jusqu’à une seule résistance équivalente.
Regrouper les résistances depuis l’extrémité
Commencez par l’extrémité la plus éloignée de la source et remontez vers elle. Des résistances parcourues par le même courant sont en série ; des résistances entre les deux mêmes nœuds sont en parallèle.
R3 + R4 = 8 + 20 = 28 Ω
R2 ∥ 28 = 3·28/(3+28) = 2,71 Ω
Req = R1 + 2,71 = 3 + 2,71 = 5,71 Ω
Courant fourni par la source
La source ne voit que Req, donc la loi d’Ohm donne le courant qu’elle fournit. Ce courant traverse R₁.
IR1 = V1/Req = 10/5,71 = 1,751 A
Courant dans R₂
Retranchez la chute de tension dans R₁ pour obtenir la tension au nœud A, qui est la tension aux bornes de R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 10 − 1,751·3 = 4,746 V
IR2 = VA/R2 = 4,746/3 = 1,582 A
Réponse
IR2 = 1,582 A
2.Résistances en série et en parallèle
Réponse: IR2 = 0,1436 A
Résistances en série et en parallèle : en série, le même courant traverse chaque résistance et R = R₁ + R₂ + …. En parallèle, chaque résistance a la même tension et 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Un réseau en échelle se réduit paire par paire jusqu’à une seule résistance équivalente.
Regrouper les résistances depuis l’extrémité
Commencez par l’extrémité la plus éloignée de la source et remontez vers elle. Des résistances parcourues par le même courant sont en série ; des résistances entre les deux mêmes nœuds sont en parallèle.
R5 + R6 = 8 + 25 = 33 Ω
R4 ∥ 33 = 10,31 Ω
R3 + 10,31 = 13,31 Ω
R2 ∥ 13,31 = 6,311 Ω
Req = R1 + 6,311 = 12 + 6,311 = 18,31 Ω
Courant fourni par la source
La source ne voit que Req, donc la loi d’Ohm donne le courant qu’elle fournit. Ce courant traverse R₁.
IR1 = V1/Req = 5/18,31 = 0,2731 A
Courant dans R₂
Retranchez la chute de tension dans R₁ pour obtenir la tension au nœud A, qui est la tension aux bornes de R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 5 − 0,2731·12 = 1,723 V
IR2 = VA/R2 = 1,723/12 = 0,1436 A
Réponse
IR2 = 0,1436 A
3.Méthode des nœuds
Réponse: Ix = 3,214 A
Méthode des nœuds : choisissez un nœud de référence, nommez les potentiels inconnus, écrivez la loi des nœuds de Kirchhoff à chaque nœud inconnu avec la loi d’Ohm (I = ΔV/R), puis résolvez le système obtenu.
Former un super-nœud
La source de tension entre A et B est parcourue par un courant inconnu, donc on ne peut pas écrire la loi des nœuds séparément en A ou en B. Englobez A, B et la source dans un super-nœud : le courant qui y entre est égal au courant qui en sort.
VB = VA + Vs = VA + 5
VA/R1 + VB/R2 = Is
Résoudre
VA/10 + (VA + 5)/4 = 4
VA = (4 − 5/4)/(1/10 + 1/4) = 7,857 V
VB = 7,857 + 5 = 12,86 V
Courant dans la source de tension
Tout ce qui traverse la source de A vers B quitte le nœud B par R₂.
Ix = VB/R2 = 12,86/4 = 3,214 A
Réponse
Ix = 3,214 A
Un résultat négatif signifie que le courant réel circule à l’opposé de la flèche.
4.Méthode des nœuds
Réponse: IR4 = −0,88 A
Méthode des nœuds : choisissez un nœud de référence, nommez les potentiels inconnus, écrivez la loi des nœuds de Kirchhoff à chaque nœud inconnu avec la loi d’Ohm (I = ΔV/R), puis résolvez le système obtenu.
Poser les nœuds
La masse est le fil du bas. Les potentiels connus viennent directement des sources (V1 = 9 V, V2 = 36 V). Inconnues : VA, VB.
Loi des nœuds au nœud A
Les courants qui quittent A par les résistances égalent le courant injecté dans A par les sources.
VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/15 + (VA − 9)/30 + (VA − VB)/8 = 0
0,225·VA − 0,125·VB = 0,3
Loi des nœuds au nœud B
Les courants qui quittent B par les résistances égalent le courant injecté dans B par les sources.
VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/10 + (VB − VA)/8 + (VB − 36)/15 = 2,5
−0,125·VA + 0,2917·VB = 4,9
Résoudre
Δ = (0,225)(0,2917) − (−0,125)(−0,125) = 0,05
VA = Δ1/Δ = 0,7/0,05 = 14 V
VB = Δ2/Δ = 1,14/0,05 = 22,8 V
Réponse
IR4 = (VB − V2)/R4 = (22,8 − 36)/15 = −0,88 A
5.Thévenin et Norton
Réponse: Rth = 22,22 Ω
Théorème de Thévenin : tout réseau linéaire à deux bornes se comporte comme une seule source de tension Vth en série avec une résistance Rth. Le théorème de Norton donne le même réseau sous forme d’une source de courant IN = Vth/Rth en parallèle avec Rth.
Trouver Rth avec toutes les sources éteintes
Remplacez les sources de tension par des courts-circuits et les sources de courant par des circuits ouverts, puis regardez le circuit depuis a–b.
R1 ∥ R2 = 5·4/(5+4) = 2,222 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,222 + 20 = 22,22 Ω
6.Thévenin et Norton
Réponse: IL = 2,186 A
Théorème de Thévenin : tout réseau linéaire à deux bornes se comporte comme une seule source de tension Vth en série avec une résistance Rth. Le théorème de Norton donne le même réseau sous forme d’une source de courant IN = Vth/Rth en parallèle avec Rth.
Trouver Rth avec toutes les sources éteintes
Remplacez les sources de tension par des courts-circuits et les sources de courant par des circuits ouverts, puis regardez le circuit depuis a–b.
R1 ∥ R2 = 30·3/(30+3) = 2,727 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,727 + 4 = 6,727 Ω
Trouver Vth, la tension à vide
Avec a–b ouverts, le seul chemin pour Iₛ passe par R₃ vers le nœud A. Trouvez V_A par superposition de V₁ et Iₛ, puis ajoutez la chute de tension dans R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 3,273 + 3·2,727 = 11,45 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 11,45 + 3·4 = 23,45 V
Brancher la charge sur l’équivalent de Thévenin
La source de Thévenin et R_th en série se comportent exactement comme le circuit d’origine en a–b, donc la charge voit une simple boucle série.
IL = Vth/(Rth + RL) = 23,45/(6,727 + 4) = 2,186 A
7.Transitoires RC et RL
Réponse: i = 0,4661 A
Régimes transitoires du premier ordre : dans un circuit avec un condensateur ou une bobine, chaque tension et chaque courant passe exponentiellement de sa valeur initiale à sa valeur finale : x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, avec τ = RC ou τ = L/R. Après environ 5τ, le circuit est stabilisé.
Constante de temps et courant final
Longtemps après la fermeture, la bobine se comporte comme un court-circuit, donc le courant final est fixé par R seule.
Régimes transitoires du premier ordre : dans un circuit avec un condensateur ou une bobine, chaque tension et chaque courant passe exponentiellement de sa valeur initiale à sa valeur finale : x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, avec τ = RC ou τ = L/R. Après environ 5τ, le circuit est stabilisé.
Valeur initiale, valeur finale, constante de temps
La tension d’un condensateur ne peut pas sauter : elle part de sa valeur stockée et tend vers la tension de la source.
vC(0) = 6 V, vC(∞) = Vs = 24 V
τ = R·C = 10 kΩ · 22 µF = 220 ms
vC(t) = 24 + (6 − 24)·e−t/τ
Tension à l’instant donné
vC(120) = 24 + (−18)·e−120/220 = 13,57 V
Réponse
vC = 13,57 V
9.Impédance et phaseurs en alternatif
Réponse: P = 5,429 W
Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.
Réactances
XL = 75,4 Ω, XC = 265,3 Ω
Impédance
|Z| = √(100² + (−189,9)²) = 214,6 Ω
Puissance active
Les bobines et les condensateurs ne font que stocker et restituer de l’énergie ; la résistance absorbe toute la puissance active.
I = 50/214,6 = 0,233 A
P = I²·R = 0,233²·100 = 5,429 W
Réponse
P = 5,429 W
10.Impédance et phaseurs en alternatif
Réponse: Q = 2,01
Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.
Fréquence de résonance
f0 = 1/(2π·√(0,002·2,2·10⁻⁶)) = 2399 Hz
Facteur de qualité
Q compare la réactance à la résonance à la résistance : Q = ω₀L/R.
Puissance en alternatif : la puissance apparente S = V·I (VA) se partage entre la puissance active P = S·cos φ (W), qui fournit un travail utile, et la puissance réactive Q = S·sin φ (var), qui fait des allers-retours entre source et charge. Le facteur de puissance est cos φ. Un condensateur en parallèle fournit la puissance réactive sur place, donc le courant de ligne baisse pour la même puissance active.
Puissance réactive de chaque charge
Une charge inductive absorbe de la puissance réactive (Q > 0) ; une charge capacitive en fournit (Q < 0).
Q1 = 19·tan(arccos 0,85) = 11,78 kvar
Q2 = 0 = 0 kvar
Totaux
P = 19 + 23 = 42 kW
Q = 11,78 + 0 = 11,78 kvar
S = √(42² + 11,78²) = 43,62 kVA
Facteur de puissance global
cos φ = P/S = 42/43,62 = 0,9629 inductif
Réponse
cos φ = 0,9629
12.Puissance alternative et facteur de puissance
Réponse: ΔP = 84,61 kW
Puissance en alternatif : la puissance apparente S = V·I (VA) se partage entre la puissance active P = S·cos φ (W), qui fournit un travail utile, et la puissance réactive Q = S·sin φ (var), qui fait des allers-retours entre source et charge. Le facteur de puissance est cos φ. Un condensateur en parallèle fournit la puissance réactive sur place, donc le courant de ligne baisse pour la même puissance active.
Puissance réactive de la charge existante
Q1 = 92·tan(arccos 0,7) = 93,86 kvar
Plus grande puissance active totale
À pleine charge nominale, S = Smax, et Q n’est pas modifiée par la charge résistive.
P = √(Smax² − Q1²) = √(200² − 93,86²) = 176,6 kW
Puissance active supplémentaire
ΔP = 176,6 − 92 = 84,61 kW
Réponse
ΔP = 84,61 kW
13.Puissance triphasée
Réponse: P = 4,734 kW
Systèmes triphasés équilibrés : en couplage étoile (Y), la tension composée vaut √3 fois la tension simple, VL = √3·Vph, et le courant de ligne est égal au courant de phase. En couplage triangle (Δ), la tension composée est égale à la tension de phase et le courant de ligne vaut √3 fois le courant de phase, IL = √3·Iph. La puissance totale vaut trois fois la puissance d’une phase : P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Tension simple
Vph = 400/√3 = 230,9 V
Courant de phase
|Z| = √(5² + 12²) = 13 Ω
Iph = 230,9/13 = 17,76 A
Puissance active totale
Seule la partie résistive de chaque impédance absorbe de la puissance active.
P = 3·Iph²·R = 3·17,76²·5 = 4,734 kW
Réponse
P = 4,734 kW
Vérification : cos φ = R/|Z| = 0,3846, et √3·VL·IL·cos φ donne la même puissance.
14.Puissance triphasée
Réponse: Cph = 827,9 µF
Systèmes triphasés équilibrés : en couplage étoile (Y), la tension composée vaut √3 fois la tension simple, VL = √3·Vph, et le courant de ligne est égal au courant de phase. En couplage triangle (Δ), la tension composée est égale à la tension de phase et le courant de ligne vaut √3 fois le courant de phase, IL = √3·Iph. La puissance totale vaut trois fois la puissance d’une phase : P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Compensation du facteur de puissance : les condensateurs fournissent localement de la puissance réactive, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Chacun des trois condensateurs fournit QC/3 = V²·ω·C, où V est la tension aux bornes de ce condensateur : VL dans une batterie en triangle, VL/√3 dans une batterie en étoile.
Puissance réactive avant et après
La puissance active ne change pas ; chaque facteur de puissance fixe donc la puissance réactive : Q = P·tan φ.
Q1 = 120·tan(acos 0,78) = 120·0,8023 = 96,27 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0,98) = 120·0,2031 = 24,37 kvar
Puissance réactive fournie par les condensateurs
QC = Q1 − Q2 = 71,91 kvar
Capacité par phase
Dans une batterie en étoile, chaque condensateur est branché entre une phase et le point neutre.
Transformateur parfait : les tensions sont dans le rapport des nombres de spires et les courants dans le rapport inverse : V₁/V₂ = N₁/N₂ = a et I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a ; la puissance absorbée est donc égale à la puissance fournie, V₁·I₁ = V₂·I₂. Une impédance de charge Z au secondaire est vue comme a²·Z depuis le primaire.
Tension et courant secondaires
V2 = 480/2 = 240 V
I2 = 240/40 = 6 A
Courant primaire
Un transformateur parfait n’a pas de pertes : V₁·I₁ = V₂·I₂.
I1 = I2/2 = 3 A
Réponse
I1 = 3 A
Vérification : la charge vue du primaire vaut a²·RL = 160 Ω, et 480/160 donne le même courant.
16.Transformateurs
Réponse: Pcu,fl = 4090 W
Pertes d’un transformateur : les pertes fer (hystérésis et courants de Foucault) dépendent de la tension et sont les mêmes quelle que soit la charge. Les pertes cuivre dans les enroulements varient comme le carré du courant : à une fraction x de la charge nominale, elles valent x²·Pcu,fl. Rendement η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), avec Pout = x·S·pf. Le rendement est maximal pour la charge à laquelle les pertes cuivre égalent les pertes fer.