La source de tension Vₛ entre A et B a sa borne + en A, donc elle impose VA − VB = Vₛ. Utilisez la méthode des nœuds avec un super-nœud pour trouver le courant IR1 dans R1 dans le sens de la flèche.
La bobine n’est parcourue par aucun courant avant la fermeture de l’interrupteur à t = 0. Trouvez le courant i à t = 5 ms.
Vs = 5 VR = 22 ΩL = 68 mHt = 5 ms
i = A
8.Transitoires RC et RLDifficile
Juste avant la fermeture de l’interrupteur à t = 0, le condensateur est chargé à 2 V avec la polarité indiquée. Trouvez la tension du condensateur vC à t = 100 ms.
Vs = 6 VR = 10 kΩC = 10 µFvC(0) = 2 Vt = 100 ms
vC = V
9.Impédance et phaseurs en alternatifMoyen
Un circuit RLC série est alimenté sous 100 V (efficaces), 200 Hz. Trouvez le courant efficace I.
V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 10 µF
I = A
10.Impédance et phaseurs en alternatifDifficile
Un circuit RLC série est alimenté sous 230 V (efficaces), 200 Hz. Trouvez la tension efficace VC aux bornes du condensateur.
V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 20 mHC = 10 µF
VC = V
11.Puissance alternative et facteur de puissanceMoyen
Un moteur monophasé absorbe 26 kW avec un facteur de puissance de 0,6 inductif sous 230 V. Trouvez le courant de ligne I.
P = 26 kWpf = 0,6V = 230 V
I = A
12.Puissance alternative et facteur de puissanceDifficile
Une charge monophasée absorbe 45 kW avec un facteur de puissance de 0,75 inductif sous 230 V, 50 Hz. Un condensateur branché en parallèle relève le facteur de puissance à 0,98. Trouvez la puissance réactive QC que le condensateur doit fournir.
P = 45 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,98V = 230 Vf = 50 Hz
QC = kvar
13.Puissance triphaséeMoyen
Une charge triphasée équilibrée absorbe un courant de ligne de 15 A sur un réseau de tension composée 415 V. Le facteur de puissance vaut 0,9 (inductif). Trouvez la puissance active totale P absorbée par la charge, en kW.
VL = 415 VIL = 15 Acos φ = 0,9
P = kW
14.Puissance triphaséeDifficile
Une charge triphasée équilibrée absorbe 100 kW avec un facteur de puissance de 0,78 (inductif) sur un réseau de 400 V (tension composée), 60 Hz. Une batterie de condensateurs triphasée branchée en parallèle avec la charge doit relever le facteur de puissance global à 0,92 (inductif). La puissance active reste la même. Les condensateurs sont couplés en triangle (Δ). Trouvez la capacité Cph de chaque condensateur, en µF.
P = 100 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,92VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
15.TransformateursMoyen
Une résistance de 5 Ω est branchée aux bornes de l’enroulement secondaire d’un transformateur parfait de rapport N₁:N₂ = 5:1. Trouvez la résistance R1′ vue depuis l’enroulement primaire.
N1:N2 = 5:1RL = 5 Ω
R1′ = Ω
16.TransformateursDifficile
Un transformateur monophasé de 25 kVA a des pertes fer de 75 W et des pertes cuivre de 300 W à charge nominale. Il fournit 50 % de sa puissance apparente nominale avec un facteur de puissance de 0,9 (inductif). Trouvez les pertes totales Ploss en watts à cette charge.
Résistances en série et en parallèle : en série, le même courant traverse chaque résistance et R = R₁ + R₂ + …. En parallèle, chaque résistance a la même tension et 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Un réseau en échelle se réduit paire par paire jusqu’à une seule résistance équivalente.
Regrouper les résistances depuis l’extrémité
Commencez par l’extrémité la plus éloignée de la source et remontez vers elle. Des résistances parcourues par le même courant sont en série ; des résistances entre les deux mêmes nœuds sont en parallèle.
R3 + R4 = 20 + 15 = 35 Ω
R2 ∥ 35 = 4·35/(4+35) = 3,59 Ω
Req = R1 + 3,59 = 12 + 3,59 = 15,59 Ω
Réponse
Req = 15,59 Ω
2.Résistances en série et en parallèle
Réponse: Req = 22,71 Ω
Résistances en série et en parallèle : en série, le même courant traverse chaque résistance et R = R₁ + R₂ + …. En parallèle, chaque résistance a la même tension et 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Un réseau en échelle se réduit paire par paire jusqu’à une seule résistance équivalente.
Regrouper les résistances depuis l’extrémité
Commencez par l’extrémité la plus éloignée de la source et remontez vers elle. Des résistances parcourues par le même courant sont en série ; des résistances entre les deux mêmes nœuds sont en parallèle.
R5 + R6 = 8 + 12 = 20 Ω
R4 ∥ 20 = 3,333 Ω
R3 + 3,333 = 28,33 Ω
R2 ∥ 28,33 = 2,713 Ω
Req = R1 + 2,713 = 20 + 2,713 = 22,71 Ω
Réponse
Req = 22,71 Ω
3.Méthode des nœuds
Réponse: VA = 9,083 V
Méthode des nœuds : choisissez un nœud de référence, nommez les potentiels inconnus, écrivez la loi des nœuds de Kirchhoff à chaque nœud inconnu avec la loi d’Ohm (I = ΔV/R), puis résolvez le système obtenu.
Poser les nœuds
La masse est le fil du bas. Les potentiels connus viennent directement des sources (V1 = 15 V). Inconnues : VA, VB.
Loi des nœuds au nœud A
Les courants qui quittent A par les résistances égalent le courant injecté dans A par les sources.
VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/15 + (VA − 15)/8 + (VA − VB)/20 = 0
0,2417·VA − 0,05·VB = 1,875
Loi des nœuds au nœud B
Les courants qui quittent B par les résistances égalent le courant injecté dans B par les sources.
VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/3 + (VB − VA)/20 = 2
−0,05·VA + 0,3833·VB = 2
Résoudre
Δ = (0,2417)(0,3833) − (−0,05)(−0,05) = 0,09014
VA = Δ1/Δ = 0,8187/0,09014 = 9,083 V
VB = Δ2/Δ = 0,5771/0,09014 = 6,402 V
Réponse
VA = 9,083 V
4.Méthode des nœuds
Réponse: IR1 = 1,5 A
Méthode des nœuds : choisissez un nœud de référence, nommez les potentiels inconnus, écrivez la loi des nœuds de Kirchhoff à chaque nœud inconnu avec la loi d’Ohm (I = ΔV/R), puis résolvez le système obtenu.
Former un super-nœud
La source de tension entre A et B est parcourue par un courant inconnu, donc on ne peut pas écrire la loi des nœuds séparément en A ou en B. Englobez A, B et la source dans un super-nœud : le courant qui y entre est égal au courant qui en sort.
Un résultat négatif signifie que le courant réel circule à l’opposé de la flèche.
5.Thévenin et Norton
Réponse: IN = 0,9 A
Théorème de Thévenin : tout réseau linéaire à deux bornes se comporte comme une seule source de tension Vth en série avec une résistance Rth. Le théorème de Norton donne le même réseau sous forme d’une source de courant IN = Vth/Rth en parallèle avec Rth.
Trouver Rth avec toutes les sources éteintes
Remplacez les sources de tension par des courts-circuits et les sources de courant par des circuits ouverts, puis regardez le circuit depuis a–b.
R1 ∥ R2 = 10·15/(10+15) = 6 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6 + 6 = 12 Ω
Trouver Vth, la tension à vide
Avec a–b ouverts, aucun courant ne traverse R₃, donc aucune chute de tension et V_b = V_A. R₁ et R₂ forment un pont diviseur.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 18·15/(10+15) = 10,8 V
Équivalent de Norton
Une source de Norton est le même circuit vu comme une source de courant en parallèle avec R_th. Son courant est le courant de court-circuit en a–b.
IN = Vth/Rth = 10,8/12 = 0,9 A
6.Thévenin et Norton
Réponse: PL = 4,139 W
Théorème de Thévenin : tout réseau linéaire à deux bornes se comporte comme une seule source de tension Vth en série avec une résistance Rth. Le théorème de Norton donne le même réseau sous forme d’une source de courant IN = Vth/Rth en parallèle avec Rth.
Trouver Rth avec toutes les sources éteintes
Remplacez les sources de tension par des courts-circuits et les sources de courant par des circuits ouverts, puis regardez le circuit depuis a–b.
R1 ∥ R2 = 20·2/(20+2) = 1,818 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,818 + 10 = 11,82 Ω
Trouver Vth, la tension à vide
Avec a–b ouverts, le seul chemin pour Iₛ passe par R₃ vers le nœud A. Trouvez V_A par superposition de V₁ et Iₛ, puis ajoutez la chute de tension dans R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1,636 + (−1,5)·1,818 = −1,091 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −1,091 + (−1,5)·10 = −16,09 V
Brancher la charge sur l’équivalent de Thévenin
La source de Thévenin et R_th en série se comportent exactement comme le circuit d’origine en a–b, donc la charge voit une simple boucle série.
IL = Vth/(Rth + RL) = −16,09/(11,82 + 4) = −1,017 A
PL = IL²·RL = −1,017²·4 = 4,139 W
7.Transitoires RC et RL
Réponse: i = 0,1822 A
Régimes transitoires du premier ordre : dans un circuit avec un condensateur ou une bobine, chaque tension et chaque courant passe exponentiellement de sa valeur initiale à sa valeur finale : x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, avec τ = RC ou τ = L/R. Après environ 5τ, le circuit est stabilisé.
Constante de temps et courant final
Longtemps après la fermeture, la bobine se comporte comme un court-circuit, donc le courant final est fixé par R seule.
Régimes transitoires du premier ordre : dans un circuit avec un condensateur ou une bobine, chaque tension et chaque courant passe exponentiellement de sa valeur initiale à sa valeur finale : x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, avec τ = RC ou τ = L/R. Après environ 5τ, le circuit est stabilisé.
Valeur initiale, valeur finale, constante de temps
La tension d’un condensateur ne peut pas sauter : elle part de sa valeur stockée et tend vers la tension de la source.
vC(0) = 2 V, vC(∞) = Vs = 6 V
τ = R·C = 10 kΩ · 10 µF = 100 ms
vC(t) = 6 + (2 − 6)·e−t/τ
Tension à l’instant donné
vC(100) = 6 + (−4)·e−100/100 = 4,528 V
Réponse
vC = 4,528 V
9.Impédance et phaseurs en alternatif
Réponse: I = 0,5032 A
Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.
Réactances
ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0,2 = 251,3 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·10·10⁻⁶) = 79,58 Ω
Impédance
En série, les impédances s’additionnent comme des nombres complexes : Z = R + j(XL − XC).
Le même courant traverse tous les éléments d’un circuit série.
I = V/|Z| = 100/198,7 = 0,5032 A
Réponse
I = 0,5032 A
10.Impédance et phaseurs en alternatif
Réponse: VC = 189,1 V
Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.
Réactances
ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0,02 = 25,13 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·10·10⁻⁶) = 79,58 Ω
Impédance
En série, les impédances s’additionnent comme des nombres complexes : Z = R + j(XL − XC).
Le même courant traverse tous les éléments d’un circuit série.
I = V/|Z| = 230/96,77 = 2,377 A
Tension aux bornes du condensateur
VC = I·XC = 2,377·79,58 = 189,1 V
Réponse
VC = 189,1 V
11.Puissance alternative et facteur de puissance
Réponse: I = 188,4 A
Puissance en alternatif : la puissance apparente S = V·I (VA) se partage entre la puissance active P = S·cos φ (W), qui fournit un travail utile, et la puissance réactive Q = S·sin φ (var), qui fait des allers-retours entre source et charge. Le facteur de puissance est cos φ. Un condensateur en parallèle fournit la puissance réactive sur place, donc le courant de ligne baisse pour la même puissance active.
Courant de ligne
Seule la partie active de la puissance fournit un travail, donc divisez par le facteur de puissance.
I = P/(V·cos φ) = 26000/(230·0,6) = 188,4 A
Réponse
I = 188,4 A
12.Puissance alternative et facteur de puissance
Réponse: QC = 30,55 kvar
Puissance en alternatif : la puissance apparente S = V·I (VA) se partage entre la puissance active P = S·cos φ (W), qui fournit un travail utile, et la puissance réactive Q = S·sin φ (var), qui fait des allers-retours entre source et charge. Le facteur de puissance est cos φ. Un condensateur en parallèle fournit la puissance réactive sur place, donc le courant de ligne baisse pour la même puissance active.
Puissance réactive avant et après
La puissance active P ne change pas ; seule la puissance réactive prélevée sur le réseau change.
Q1 = P·tan φ1 = 45·tan(41,41°) = 39,69 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 45·tan(11,48°) = 9,138 kvar
QC = Q1 − Q2 = 30,55 kvar
Réponse
QC = 30,55 kvar
13.Puissance triphasée
Réponse: P = 9,704 kW
Systèmes triphasés équilibrés : en couplage étoile (Y), la tension composée vaut √3 fois la tension simple, VL = √3·Vph, et le courant de ligne est égal au courant de phase. En couplage triangle (Δ), la tension composée est égale à la tension de phase et le courant de ligne vaut √3 fois le courant de phase, IL = √3·Iph. La puissance totale vaut trois fois la puissance d’une phase : P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Puissance apparente
S = √3·VL·IL = √3·415·15 = 10,78 kVA
Puissance active
P = S·cos φ = 10,78·0,9 = 9,704 kW
Réponse
P = 9,704 kW
14.Puissance triphasée
Réponse: Cph = 207,9 µF
Systèmes triphasés équilibrés : en couplage étoile (Y), la tension composée vaut √3 fois la tension simple, VL = √3·Vph, et le courant de ligne est égal au courant de phase. En couplage triangle (Δ), la tension composée est égale à la tension de phase et le courant de ligne vaut √3 fois le courant de phase, IL = √3·Iph. La puissance totale vaut trois fois la puissance d’une phase : P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Compensation du facteur de puissance : les condensateurs fournissent localement de la puissance réactive, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Chacun des trois condensateurs fournit QC/3 = V²·ω·C, où V est la tension aux bornes de ce condensateur : VL dans une batterie en triangle, VL/√3 dans une batterie en étoile.
Puissance réactive avant et après
La puissance active ne change pas ; chaque facteur de puissance fixe donc la puissance réactive : Q = P·tan φ.
Q1 = 100·tan(acos 0,78) = 100·0,8023 = 80,23 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0,92) = 100·0,426 = 42,6 kvar
Puissance réactive fournie par les condensateurs
QC = Q1 − Q2 = 37,63 kvar
Capacité par phase
Dans une batterie en triangle, chaque condensateur est branché entre deux phases.
V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 12543/(377·400²) = 207,9 µF
Réponse
Cph = 207,9 µF
15.Transformateurs
Réponse: R1′ = 125 Ω
Transformateur parfait : les tensions sont dans le rapport des nombres de spires et les courants dans le rapport inverse : V₁/V₂ = N₁/N₂ = a et I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a ; la puissance absorbée est donc égale à la puissance fournie, V₁·I₁ = V₂·I₂. Une impédance de charge Z au secondaire est vue comme a²·Z depuis le primaire.
Résistance ramenée
La tension est multipliée par a et le courant divisé par a ; le rapport V/I est donc multiplié par a².
R1′ = a²·RL = 5²·5 = 125 Ω
Réponse
R1′ = 125 Ω
16.Transformateurs
Réponse: Ploss = 150 W
Pertes d’un transformateur : les pertes fer (hystérésis et courants de Foucault) dépendent de la tension et sont les mêmes quelle que soit la charge. Les pertes cuivre dans les enroulements varient comme le carré du courant : à une fraction x de la charge nominale, elles valent x²·Pcu,fl. Rendement η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), avec Pout = x·S·pf. Le rendement est maximal pour la charge à laquelle les pertes cuivre égalent les pertes fer.
Pertes cuivre à cette charge
Pcu = x²·Pcu,fl = 0,25·300 = 75 W
Pertes totales
Les pertes fer sont les mêmes quelle que soit la charge.