Trois branches sont branchées entre le nœud A et la masse, comme représenté. Utilisez la méthode des nœuds pour trouver le courant I1 dans la branche 1, circulant vers le haut jusqu’au nœud A dans le sens de la flèche.
V1 = 18 VR1 = 12 ΩV2 = 6 VR2 = 5 ΩR3 = 20 Ω
I1 = A
4.Méthode des nœudsDifficile
La source de courant est réglée jusqu’à ce que le potentiel du nœud A vaille VA = 15 V. Utilisez la méthode des nœuds pour trouver le courant de la source Is (sens indiqué).
La source Vₛ charge le condensateur à travers R₁, et R₂ est branchée en parallèle avec C. Le condensateur est déchargé quand l’interrupteur se ferme à t = 0. Trouvez la constante de temps τ du circuit après la fermeture de l’interrupteur.
Vs = 6 VR1 = 2,2 kΩR2 = 10 kΩC = 47 µF
τ = ms
8.Transitoires RC et RLDifficile
Un temporisateur commence à t = 0 à charger un condensateur déchargé à travers une résistance à partir d’une alimentation de 9 V. Il doit se déclencher quand la tension du condensateur atteint 5,69 V, exactement 1000 ms après le départ. Avec C = 4,7 µF, trouvez la résistance R nécessaire.
Vs = 9 VVth = 5,69 VT = 1000 msC = 4,7 µF
R = kΩ
9.Impédance et phaseurs en alternatifMoyen
Un circuit RLC série est alimenté sous 230 V (efficaces), 100 Hz. Trouvez le facteur de puissance cos φ du circuit.
V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 10 µF
cos φ =
10.Impédance et phaseurs en alternatifDifficile
Une résistance R1 est branchée en série avec l’association en parallèle de R2 et d’un condensateur C, sur une alimentation de 230 V (efficace), 100 Hz. Trouvez le module de l’impédance |Z|.
V = 230 V (rms)f = 100 HzR1 = 25 ΩR2 = 80 ΩC = 10 µF
|Z| = Ω
11.Puissance alternative et facteur de puissanceMoyen
Un moteur monophasé absorbe 21 kW avec un facteur de puissance de 0,75 inductif sous 400 V. Trouvez le courant de ligne I.
P = 21 kWpf = 0,75V = 400 V
I = A
12.Puissance alternative et facteur de puissanceDifficile
Une source de 120 V (efficace), 60 Hz a une impédance interne Zs = 25 + j5 Ω. L’impédance de charge ZL peut être choisie librement. La charge donnant la puissance maximale est constituée d’une résistance en série avec un condensateur. Trouvez la capacité C.
Vs = 120 V (rms)f = 60 HzZs = 25 + j5 Ω
C = µF
13.Puissance triphaséeMoyen
Une charge triphasée équilibrée absorbe un courant de ligne de 12 A sur un réseau de tension composée 415 V. Le facteur de puissance vaut 0,85 (inductif). Trouvez la puissance active totale P absorbée par la charge, en kW.
VL = 415 VIL = 12 Acos φ = 0,85
P = kW
14.Puissance triphaséeDifficile
Une charge triphasée équilibrée absorbe 50 kW avec un facteur de puissance de 0,75 (inductif) sur un réseau de 690 V (tension composée), 50 Hz. Une batterie de condensateurs triphasée branchée en parallèle avec la charge doit relever le facteur de puissance global à 0,92 (inductif). La puissance active reste la même. Les condensateurs sont couplés en étoile (Y). Trouvez la capacité Cph de chaque condensateur, en µF.
P = 50 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,92VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF
15.TransformateursMoyen
Un transformateur parfait de rapport N₁:N₂ = 2:1 a son enroulement primaire sous 460 V. Une résistance de 12 Ω est branchée aux bornes de l’enroulement secondaire. Trouvez le courant primaire I1.
N1:N2 = 2:1V1 = 460 VRL = 12 Ω
I1 = A
16.TransformateursDifficile
Un transformateur monophasé de 25 kVA a des pertes fer de 125 W et des pertes cuivre de 250 W à charge nominale. À quelle charge Sη,max, en kVA, son rendement est-il maximal ?
S = 25 kVAPcore = 125 WPcu,fl = 250 W
Sη,max = kVA
3Solutions
1.Résistances en série et en parallèle
Réponse: IR2 = 0,2069 A
Résistances en série et en parallèle : en série, le même courant traverse chaque résistance et R = R₁ + R₂ + …. En parallèle, chaque résistance a la même tension et 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Un réseau en échelle se réduit paire par paire jusqu’à une seule résistance équivalente.
Regrouper les résistances depuis l’extrémité
Commencez par l’extrémité la plus éloignée de la source et remontez vers elle. Des résistances parcourues par le même courant sont en série ; des résistances entre les deux mêmes nœuds sont en parallèle.
R3 + R4 = 2 + 8 = 10 Ω
R2 ∥ 10 = 3·10/(3+10) = 2,308 Ω
Req = R1 + 2,308 = 20 + 2,308 = 22,31 Ω
Courant fourni par la source
La source ne voit que Req, donc la loi d’Ohm donne le courant qu’elle fournit. Ce courant traverse R₁.
IR1 = V1/Req = 6/22,31 = 0,269 A
Courant dans R₂
Retranchez la chute de tension dans R₁ pour obtenir la tension au nœud A, qui est la tension aux bornes de R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 6 − 0,269·20 = 0,6207 V
IR2 = VA/R2 = 0,6207/3 = 0,2069 A
Réponse
IR2 = 0,2069 A
2.Résistances en série et en parallèle
Réponse: Req = 9,199 Ω
Résistances en série et en parallèle : en série, le même courant traverse chaque résistance et R = R₁ + R₂ + …. En parallèle, chaque résistance a la même tension et 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Un réseau en échelle se réduit paire par paire jusqu’à une seule résistance équivalente.
Regrouper les résistances depuis l’extrémité
Commencez par l’extrémité la plus éloignée de la source et remontez vers elle. Des résistances parcourues par le même courant sont en série ; des résistances entre les deux mêmes nœuds sont en parallèle.
R5 + R6 = 12 + 10 = 22 Ω
R4 ∥ 22 = 8,919 Ω
R3 + 8,919 = 38,92 Ω
R2 ∥ 38,92 = 5,199 Ω
Req = R1 + 5,199 = 4 + 5,199 = 9,199 Ω
Réponse
Req = 9,199 Ω
3.Méthode des nœuds
Réponse: I1 = 0,825 A
Méthode des nœuds : choisissez un nœud de référence, nommez les potentiels inconnus, écrivez la loi des nœuds de Kirchhoff à chaque nœud inconnu avec la loi d’Ohm (I = ΔV/R), puis résolvez le système obtenu.
Loi des nœuds en A
Prenez le fil du bas comme masse. Chaque branche emporte depuis A un courant (VA − Vk)/Rk, où Vk est la tension de sa source (zéro pour une simple résistance). La somme des courants sortant de A est nulle.
(VA − 18)/12 + (VA − 6)/5 + VA/20 = 0
Trouver VA
VA = (18/12 + 6/5 + 0/20) / (1/12 + 1/5 + 1/20) = 2,7/0,3333 = 8,1 V
Courant de branche
La flèche est orientée vers le haut dans la branche, vers le nœud A.
I1 = (18 − VA)/R1 = (18 − 8,1)/12 = 0,825 A
Réponse
I1 = 0,825 A
Un résultat négatif signifie que le courant réel circule à l’opposé de la flèche.
4.Méthode des nœuds
Réponse: Is = 2,925 A
Méthode des nœuds : choisissez un nœud de référence, nommez les potentiels inconnus, écrivez la loi des nœuds de Kirchhoff à chaque nœud inconnu avec la loi d’Ohm (I = ΔV/R), puis résolvez le système obtenu.
Loi des nœuds en A
VA est connu, donc cette équation donne VB.
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
(15 − 15)/12 + 15/8 = (VB − 15)/6
1,875 = (VB − 15)/6 → VB = 26,25 V
Loi des nœuds en B
Les courants sortant de B par les résistances sont égaux au courant injecté dans B par les sources.
Is = (VB − VA)/R3 + VB/R4 = (26,25 − 15)/6 + 26,25/25 = 2,925 A
Réponse
Is = 2,925 A
5.Thévenin et Norton
Réponse: Rth = 8,667 Ω
Théorème de Thévenin : tout réseau linéaire à deux bornes se comporte comme une seule source de tension Vth en série avec une résistance Rth. Le théorème de Norton donne le même réseau sous forme d’une source de courant IN = Vth/Rth en parallèle avec Rth.
Trouver Rth avec toutes les sources éteintes
Remplacez les sources de tension par des courts-circuits et les sources de courant par des circuits ouverts, puis regardez le circuit depuis a–b.
R1 ∥ R2 = 20·10/(20+10) = 6,667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6,667 + 2 = 8,667 Ω
6.Thévenin et Norton
Réponse: IL = 1,152 A
Théorème de Thévenin : tout réseau linéaire à deux bornes se comporte comme une seule source de tension Vth en série avec une résistance Rth. Le théorème de Norton donne le même réseau sous forme d’une source de courant IN = Vth/Rth en parallèle avec Rth.
Trouver Rth avec toutes les sources éteintes
Remplacez les sources de tension par des courts-circuits et les sources de courant par des circuits ouverts, puis regardez le circuit depuis a–b.
R1 ∥ R2 = 20·25/(20+25) = 11,11 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 11,11 + 10 = 21,11 Ω
Trouver Vth, la tension à vide
Avec a–b ouverts, le seul chemin pour Iₛ passe par R₃ vers le nœud A. Trouvez V_A par superposition de V₁ et Iₛ, puis ajoutez la chute de tension dans R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 16,67 + 2·11,11 = 38,89 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 38,89 + 2·10 = 58,89 V
Brancher la charge sur l’équivalent de Thévenin
La source de Thévenin et R_th en série se comportent exactement comme le circuit d’origine en a–b, donc la charge voit une simple boucle série.
IL = Vth/(Rth + RL) = 58,89/(21,11 + 30) = 1,152 A
7.Transitoires RC et RL
Réponse: τ = 84,75 ms
Régimes transitoires du premier ordre : dans un circuit avec un condensateur ou une bobine, chaque tension et chaque courant passe exponentiellement de sa valeur initiale à sa valeur finale : x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, avec τ = RC ou τ = L/R. Après environ 5τ, le circuit est stabilisé.
Équivalent de Thévenin vu par le condensateur
Court-circuitez la source pour trouver Rth ; ouvrez le condensateur pour trouver la tension vers laquelle il tendra.
Rth = R1 ∥ R2 = 2,2·10/(2,2 + 10) = 1,803 kΩ
vC(∞) = 6·10/(2,2 + 10) = 4,918 V
Constante de temps
τ = Rth·C = 1,803·47 = 84,75 ms
Réponse
τ = 84,75 ms
8.Transitoires RC et RL
Réponse: R = 212,7 kΩ
Régimes transitoires du premier ordre : dans un circuit avec un condensateur ou une bobine, chaque tension et chaque courant passe exponentiellement de sa valeur initiale à sa valeur finale : x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, avec τ = RC ou τ = L/R. Après environ 5τ, le circuit est stabilisé.
Des kΩ multipliés par des µF donnent des millisecondes.
R = τ/C = 999,7/4,7 = 212,7 kΩ
Réponse
R = 212,7 kΩ
9.Impédance et phaseurs en alternatif
Réponse: cos φ = 0,4251
Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.
Réactances
XL = 31,42 Ω, XC = 159,2 Ω
Impédance
|Z| = √(60² + (−127,7)²) = 141,1 Ω
Facteur de puissance
cos φ = R/|Z| = 60/141,1 = 0,4251
Le circuit est capacitif, donc le facteur de puissance est capacitif (courant en avance).
Réponse
cos φ = 0,4251
10.Impédance et phaseurs en alternatif
Réponse: |Z| = 94,48 Ω
Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.
Réactance
XC = 1/(2π·100·10·10⁻⁶) = 159,2 Ω
Association en parallèle
Multipliez le numérateur et le dénominateur par le conjugué pour séparer Zp en parties réelle et imaginaire.
Puissance en alternatif : la puissance apparente S = V·I (VA) se partage entre la puissance active P = S·cos φ (W), qui fournit un travail utile, et la puissance réactive Q = S·sin φ (var), qui fait des allers-retours entre source et charge. Le facteur de puissance est cos φ. Un condensateur en parallèle fournit la puissance réactive sur place, donc le courant de ligne baisse pour la même puissance active.
Courant de ligne
Seule la partie active de la puissance fournit un travail, donc divisez par le facteur de puissance.
I = P/(V·cos φ) = 21000/(400·0,75) = 70 A
Réponse
I = 70 A
12.Puissance alternative et facteur de puissance
Réponse: C = 530,5 µF
Puissance en alternatif : la puissance apparente S = V·I (VA) se partage entre la puissance active P = S·cos φ (W), qui fournit un travail utile, et la puissance réactive Q = S·sin φ (var), qui fait des allers-retours entre source et charge. Le facteur de puissance est cos φ. Un condensateur en parallèle fournit la puissance réactive sur place, donc le courant de ligne baisse pour la même puissance active.
Adaptation conjuguée
La réactance de la charge compense celle de la source, et la résistance de la charge est égale à celle de la source.
ZL = Zs* = 25 − j5 Ω
Capacité
XC = 5 Ω → C = 1/(2π·60·5) = 530,5 µF
Réponse
C = 530,5 µF
13.Puissance triphasée
Réponse: P = 7,332 kW
Systèmes triphasés équilibrés : en couplage étoile (Y), la tension composée vaut √3 fois la tension simple, VL = √3·Vph, et le courant de ligne est égal au courant de phase. En couplage triangle (Δ), la tension composée est égale à la tension de phase et le courant de ligne vaut √3 fois le courant de phase, IL = √3·Iph. La puissance totale vaut trois fois la puissance d’une phase : P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Puissance apparente
S = √3·VL·IL = √3·415·12 = 8,626 kVA
Puissance active
P = S·cos φ = 8,626·0,85 = 7,332 kW
Réponse
P = 7,332 kW
14.Puissance triphasée
Réponse: Cph = 152,4 µF
Systèmes triphasés équilibrés : en couplage étoile (Y), la tension composée vaut √3 fois la tension simple, VL = √3·Vph, et le courant de ligne est égal au courant de phase. En couplage triangle (Δ), la tension composée est égale à la tension de phase et le courant de ligne vaut √3 fois le courant de phase, IL = √3·Iph. La puissance totale vaut trois fois la puissance d’une phase : P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Compensation du facteur de puissance : les condensateurs fournissent localement de la puissance réactive, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Chacun des trois condensateurs fournit QC/3 = V²·ω·C, où V est la tension aux bornes de ce condensateur : VL dans une batterie en triangle, VL/√3 dans une batterie en étoile.
Puissance réactive avant et après
La puissance active ne change pas ; chaque facteur de puissance fixe donc la puissance réactive : Q = P·tan φ.
Q1 = 50·tan(acos 0,75) = 50·0,8819 = 44,1 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0,92) = 50·0,426 = 21,3 kvar
Puissance réactive fournie par les condensateurs
QC = Q1 − Q2 = 22,8 kvar
Capacité par phase
Dans une batterie en étoile, chaque condensateur est branché entre une phase et le point neutre.
Transformateur parfait : les tensions sont dans le rapport des nombres de spires et les courants dans le rapport inverse : V₁/V₂ = N₁/N₂ = a et I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a ; la puissance absorbée est donc égale à la puissance fournie, V₁·I₁ = V₂·I₂. Une impédance de charge Z au secondaire est vue comme a²·Z depuis le primaire.
Tension et courant secondaires
V2 = 460/2 = 230 V
I2 = 230/12 = 19,17 A
Courant primaire
Un transformateur parfait n’a pas de pertes : V₁·I₁ = V₂·I₂.
I1 = I2/2 = 9,583 A
Réponse
I1 = 9,583 A
Vérification : la charge vue du primaire vaut a²·RL = 48 Ω, et 460/48 donne le même courant.
16.Transformateurs
Réponse: Sη,max = 17,68 kVA
Pertes d’un transformateur : les pertes fer (hystérésis et courants de Foucault) dépendent de la tension et sont les mêmes quelle que soit la charge. Les pertes cuivre dans les enroulements varient comme le carré du courant : à une fraction x de la charge nominale, elles valent x²·Pcu,fl. Rendement η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), avec Pout = x·S·pf. Le rendement est maximal pour la charge à laquelle les pertes cuivre égalent les pertes fer.