La bobine n’est parcourue par aucun courant avant la fermeture de l’interrupteur à t = 0. Trouvez le courant i à t = 5 ms.
Vs = 10 VR = 20 ΩL = 68 mHt = 5 ms
i = A
8.Transitoires RC et RLDifficile
Juste avant la fermeture de l’interrupteur à t = 0, le condensateur est chargé à 6 V avec la polarité indiquée. Combien de temps faut-il à vC pour atteindre 10,8 V ? Trouvez t.
Vs = 12 VR = 3,3 kΩC = 220 µFvC(0) = 6 V
t = ms
9.Impédance et phaseurs en alternatifMoyen
Un circuit RLC série est alimenté sous 50 V (efficaces), 200 Hz. Trouvez la puissance active P prélevée sur l’alimentation.
V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 25 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF
P = W
10.Impédance et phaseurs en alternatifDifficile
Un circuit RLC série a R = 5 Ω, L = 1 mH et C = 1 µF. Trouvez sa bande passante B (la largeur de la bande comprise entre les fréquences de demi-puissance), en Hz.
R = 5 ΩL = 1 mHC = 1 µF
B = Hz
11.Puissance alternative et facteur de puissanceMoyen
Deux charges sont branchées en parallèle sur une alimentation monophasée de 400 V : une charge de 14 kW avec un facteur de puissance de 0,8 inductif et un radiateur de 18 kW (facteur de puissance unitaire). Trouvez le courant total I prélevé sur l’alimentation.
12.Puissance alternative et facteur de puissanceDifficile
Une charge monophasée absorbe 4 kW avec un facteur de puissance de 0,65 inductif sur une alimentation de 400 V, 50 Hz. Un condensateur de 22 µF est branché en parallèle sur la charge. Trouvez le nouveau courant de ligne I.
P = 4 kWpf1 = 0,65V = 400 Vf = 50 HzC = 22 µF
I = A
13.Puissance triphaséeMoyen
Un moteur asynchrone triphasé fournit 18,5 kW de puissance mécanique utile à pleine charge. À cette charge, son rendement est de 90 % et son facteur de puissance vaut 0,86 (inductif). Le réseau a une tension composée de 415 V. Trouvez le courant de ligne IL.
Pout = 18,5 kWη = 90%cos φ = 0,86VL = 415 V
IL = A
14.Puissance triphaséeDifficile
Une charge triphasée équilibrée absorbe 50 kW avec un facteur de puissance de 0,75 (inductif) sur un réseau de 480 V (tension composée), 50 Hz. Une batterie de condensateurs triphasée branchée en parallèle avec la charge doit relever le facteur de puissance global à 0,92 (inductif). La puissance active reste la même. Trouvez la puissance réactive totale QC que doit fournir la batterie de condensateurs, en kvar.
P = 50 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,92VL = 480 Vf = 50 Hz
QC = kvar
15.TransformateursMoyen
Une résistance de 10 Ω est branchée aux bornes de l’enroulement secondaire d’un transformateur parfait de rapport N₁:N₂ = 10:1. Trouvez la résistance R1′ vue depuis l’enroulement primaire.
N1:N2 = 10:1RL = 10 Ω
R1′ = Ω
16.TransformateursDifficile
Un transformateur monophasé de 500 kVA a des pertes fer de 2000 W et des pertes cuivre de 8000 W à charge nominale. À quelle charge Sη,max, en kVA, son rendement est-il maximal ?
S = 500 kVAPcore = 2000 WPcu,fl = 8000 W
Sη,max = kVA
3Solutions
1.Résistances en série et en parallèle
Réponse: Req = 11,87 Ω
Résistances en série et en parallèle : en série, le même courant traverse chaque résistance et R = R₁ + R₂ + …. En parallèle, chaque résistance a la même tension et 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Un réseau en échelle se réduit paire par paire jusqu’à une seule résistance équivalente.
Regrouper les résistances depuis l’extrémité
Commencez par l’extrémité la plus éloignée de la source et remontez vers elle. Des résistances parcourues par le même courant sont en série ; des résistances entre les deux mêmes nœuds sont en parallèle.
R3 + R4 = 10 + 12 = 22 Ω
R2 ∥ 22 = 8·22/(8+22) = 5,867 Ω
Req = R1 + 5,867 = 6 + 5,867 = 11,87 Ω
Réponse
Req = 11,87 Ω
2.Résistances en série et en parallèle
Réponse: Req = 9,794 Ω
Résistances en série et en parallèle : en série, le même courant traverse chaque résistance et R = R₁ + R₂ + …. En parallèle, chaque résistance a la même tension et 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Un réseau en échelle se réduit paire par paire jusqu’à une seule résistance équivalente.
Regrouper les résistances depuis l’extrémité
Commencez par l’extrémité la plus éloignée de la source et remontez vers elle. Des résistances parcourues par le même courant sont en série ; des résistances entre les deux mêmes nœuds sont en parallèle.
R5 + R6 = 3 + 25 = 28 Ω
R4 ∥ 28 = 6,222 Ω
R3 + 6,222 = 16,22 Ω
R2 ∥ 16,22 = 7,794 Ω
Req = R1 + 7,794 = 2 + 7,794 = 9,794 Ω
Réponse
Req = 9,794 Ω
3.Méthode des nœuds
Réponse: IR1 = 2,633 A
Méthode des nœuds : choisissez un nœud de référence, nommez les potentiels inconnus, écrivez la loi des nœuds de Kirchhoff à chaque nœud inconnu avec la loi d’Ohm (I = ΔV/R), puis résolvez le système obtenu.
Poser les nœuds
La masse est le fil du bas. Les potentiels connus viennent directement des sources (V1 = 15 V). Inconnues : VA, VB.
Loi des nœuds au nœud A
Les courants qui quittent A par les résistances égalent le courant injecté dans A par les sources.
VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/12 + (VA − 15)/8 + (VA − VB)/4 = 0
0,4583·VA − 0,25·VB = 1,875
Loi des nœuds au nœud B
Les courants qui quittent B par les résistances égalent le courant injecté dans B par les sources.
VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/10 + (VB − VA)/4 = (−5)
−0,25·VA + 0,35·VB = −5
Résoudre
Δ = (0,4583)(0,35) − (−0,25)(−0,25) = 0,09792
VA = Δ1/Δ = −0,5938/0,09792 = −6,064 V
VB = Δ2/Δ = −1,823/0,09792 = −18,62 V
Réponse
IR1 = (V1 − VA)/R1 = (15 − −6,064)/8 = 2,633 A
4.Méthode des nœuds
Réponse: VB = 9,194 V
Méthode des nœuds : choisissez un nœud de référence, nommez les potentiels inconnus, écrivez la loi des nœuds de Kirchhoff à chaque nœud inconnu avec la loi d’Ohm (I = ΔV/R), puis résolvez le système obtenu.
Poser les nœuds
La masse est le fil du bas. Les potentiels connus viennent directement des sources (V1 = 12 V, V2 = 10 V). Inconnues : VA, VB.
Loi des nœuds au nœud A
Les courants qui quittent A par les résistances égalent le courant injecté dans A par les sources.
VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/3 + (VA − 12)/12 + (VA − VB)/6 = 0
0,5833·VA − 0,1667·VB = 1
Loi des nœuds au nœud B
Les courants qui quittent B par les résistances égalent le courant injecté dans B par les sources.
VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/20 + (VB − VA)/6 + (VB − 10)/3 = 1
−0,1667·VA + 0,55·VB = 4,333
Résoudre
Δ = (0,5833)(0,55) − (−0,1667)(−0,1667) = 0,2931
VA = Δ1/Δ = 1,272/0,2931 = 4,341 V
VB = Δ2/Δ = 2,694/0,2931 = 9,194 V
Réponse
VB = 9,194 V
5.Thévenin et Norton
Réponse: Vth = 3,846 V
Théorème de Thévenin : tout réseau linéaire à deux bornes se comporte comme une seule source de tension Vth en série avec une résistance Rth. Le théorème de Norton donne le même réseau sous forme d’une source de courant IN = Vth/Rth en parallèle avec Rth.
Trouver Rth avec toutes les sources éteintes
Remplacez les sources de tension par des courts-circuits et les sources de courant par des circuits ouverts, puis regardez le circuit depuis a–b.
R1 ∥ R2 = 8·5/(8+5) = 3,077 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,077 + 10 = 13,08 Ω
Trouver Vth, la tension à vide
Avec a–b ouverts, aucun courant ne traverse R₃, donc aucune chute de tension et V_b = V_A. R₁ et R₂ forment un pont diviseur.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 10·5/(8+5) = 3,846 V
6.Thévenin et Norton
Réponse: IL = −0,4355 A
Théorème de Thévenin : tout réseau linéaire à deux bornes se comporte comme une seule source de tension Vth en série avec une résistance Rth. Le théorème de Norton donne le même réseau sous forme d’une source de courant IN = Vth/Rth en parallèle avec Rth.
Trouver Rth avec toutes les sources éteintes
Remplacez les sources de tension par des courts-circuits et les sources de courant par des circuits ouverts, puis regardez le circuit depuis a–b.
R1 ∥ R2 = 2·12/(2+12) = 1,714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,714 + 6 = 7,714 Ω
Trouver Vth, la tension à vide
Avec a–b ouverts, le seul chemin pour Iₛ passe par R₃ vers le nœud A. Trouvez V_A par superposition de V₁ et Iₛ, puis ajoutez la chute de tension dans R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 7,714 + (−2)·1,714 = 4,286 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 4,286 + (−2)·6 = −7,714 V
Brancher la charge sur l’équivalent de Thévenin
La source de Thévenin et R_th en série se comportent exactement comme le circuit d’origine en a–b, donc la charge voit une simple boucle série.
IL = Vth/(Rth + RL) = −7,714/(7,714 + 10) = −0,4355 A
7.Transitoires RC et RL
Réponse: i = 0,3851 A
Régimes transitoires du premier ordre : dans un circuit avec un condensateur ou une bobine, chaque tension et chaque courant passe exponentiellement de sa valeur initiale à sa valeur finale : x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, avec τ = RC ou τ = L/R. Après environ 5τ, le circuit est stabilisé.
Constante de temps et courant final
Longtemps après la fermeture, la bobine se comporte comme un court-circuit, donc le courant final est fixé par R seule.
Régimes transitoires du premier ordre : dans un circuit avec un condensateur ou une bobine, chaque tension et chaque courant passe exponentiellement de sa valeur initiale à sa valeur finale : x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, avec τ = RC ou τ = L/R. Après environ 5τ, le circuit est stabilisé.
Valeur initiale, valeur finale, constante de temps
La tension d’un condensateur ne peut pas sauter : elle part de sa valeur stockée et tend vers la tension de la source.
t = τ·ln((6 − 12)/(10,8 − 12)) = 726·ln(5) = 1168 ms
Réponse
t = 1168 ms
9.Impédance et phaseurs en alternatif
Réponse: P = 5,224 W
Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.
Réactances
XL = 62,83 Ω, XC = 169,3 Ω
Impédance
|Z| = √(25² + (−106,5)²) = 109,4 Ω
Puissance active
Les bobines et les condensateurs ne font que stocker et restituer de l’énergie ; la résistance absorbe toute la puissance active.
I = 50/109,4 = 0,4571 A
P = I²·R = 0,4571²·25 = 5,224 W
Réponse
P = 5,224 W
10.Impédance et phaseurs en alternatif
Réponse: B = 795,8 Hz
Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.
Fréquence de résonance
f0 = 1/(2π·√(0,001·1·10⁻⁶)) = 5033 Hz
Facteur de qualité
Q compare la réactance à la résonance à la résistance : Q = ω₀L/R.
Puissance en alternatif : la puissance apparente S = V·I (VA) se partage entre la puissance active P = S·cos φ (W), qui fournit un travail utile, et la puissance réactive Q = S·sin φ (var), qui fait des allers-retours entre source et charge. Le facteur de puissance est cos φ. Un condensateur en parallèle fournit la puissance réactive sur place, donc le courant de ligne baisse pour la même puissance active.
Puissance réactive de chaque charge
Une charge inductive absorbe de la puissance réactive (Q > 0) ; une charge capacitive en fournit (Q < 0).
Q1 = 14·tan(arccos 0,8) = 10,5 kvar
Q2 = 0 = 0 kvar
Totaux
P = 14 + 18 = 32 kW
Q = 10,5 + 0 = 10,5 kvar
S = √(32² + 10,5²) = 33,68 kVA
Courant total
I = S/V = 33679/400 = 84,2 A
Réponse
I = 84,2 A
12.Puissance alternative et facteur de puissance
Réponse: I = 13,4 A
Puissance en alternatif : la puissance apparente S = V·I (VA) se partage entre la puissance active P = S·cos φ (W), qui fournit un travail utile, et la puissance réactive Q = S·sin φ (var), qui fait des allers-retours entre source et charge. Le facteur de puissance est cos φ. Un condensateur en parallèle fournit la puissance réactive sur place, donc le courant de ligne baisse pour la même puissance active.
Puissance réactive avant et après
La puissance active P ne change pas ; seule la puissance réactive prélevée sur le réseau change.
Q1 = 4·tan(arccos 0,65) = 4,677 kvar
QC = V²·2πf·C = 400²·2π·50·22·10⁻⁶ = 1106 var = 1,106 kvar
Q2 = 4,677 − 1,106 = 3,571 kvar
Nouvelle puissance apparente
S2 = √(4² + 3,571²) = 5,362 kVA
Nouveau courant de ligne
I = S2/V = 5362/400 = 13,4 A
Réponse
I = 13,4 A
13.Puissance triphasée
Réponse: IL = 33,25 A
Systèmes triphasés équilibrés : en couplage étoile (Y), la tension composée vaut √3 fois la tension simple, VL = √3·Vph, et le courant de ligne est égal au courant de phase. En couplage triangle (Δ), la tension composée est égale à la tension de phase et le courant de ligne vaut √3 fois le courant de phase, IL = √3·Iph. La puissance totale vaut trois fois la puissance d’une phase : P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Puissance électrique absorbée
Pin = Pout/η = 18,5/0,9 = 20,56 kW
Courant de ligne
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 20556/(√3·415·0,86) = 33,25 A
Réponse
IL = 33,25 A
14.Puissance triphasée
Réponse: QC = 22,8 kvar
Systèmes triphasés équilibrés : en couplage étoile (Y), la tension composée vaut √3 fois la tension simple, VL = √3·Vph, et le courant de ligne est égal au courant de phase. En couplage triangle (Δ), la tension composée est égale à la tension de phase et le courant de ligne vaut √3 fois le courant de phase, IL = √3·Iph. La puissance totale vaut trois fois la puissance d’une phase : P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Compensation du facteur de puissance : les condensateurs fournissent localement de la puissance réactive, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Chacun des trois condensateurs fournit QC/3 = V²·ω·C, où V est la tension aux bornes de ce condensateur : VL dans une batterie en triangle, VL/√3 dans une batterie en étoile.
Puissance réactive avant et après
La puissance active ne change pas ; chaque facteur de puissance fixe donc la puissance réactive : Q = P·tan φ.
Q1 = 50·tan(acos 0,75) = 50·0,8819 = 44,1 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0,92) = 50·0,426 = 21,3 kvar
Puissance réactive fournie par les condensateurs
QC = Q1 − Q2 = 22,8 kvar
Réponse
QC = 22,8 kvar
15.Transformateurs
Réponse: R1′ = 1000 Ω
Transformateur parfait : les tensions sont dans le rapport des nombres de spires et les courants dans le rapport inverse : V₁/V₂ = N₁/N₂ = a et I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a ; la puissance absorbée est donc égale à la puissance fournie, V₁·I₁ = V₂·I₂. Une impédance de charge Z au secondaire est vue comme a²·Z depuis le primaire.
Résistance ramenée
La tension est multipliée par a et le courant divisé par a ; le rapport V/I est donc multiplié par a².
R1′ = a²·RL = 10²·10 = 1000 Ω
Réponse
R1′ = 1000 Ω
16.Transformateurs
Réponse: Sη,max = 250 kVA
Pertes d’un transformateur : les pertes fer (hystérésis et courants de Foucault) dépendent de la tension et sont les mêmes quelle que soit la charge. Les pertes cuivre dans les enroulements varient comme le carré du courant : à une fraction x de la charge nominale, elles valent x²·Pcu,fl. Rendement η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), avec Pout = x·S·pf. Le rendement est maximal pour la charge à laquelle les pertes cuivre égalent les pertes fer.