Entraînement à l’examen FE Chemical : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 24 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Bilan matière

Régime permanent: entrée = sortie
Bilan global: ṁ₁ + ṁ₂ = ṁ₃
Bilan par constituant: ṁ₁x₁ + ṁ₂x₂ = ṁ₃x₃
Évaporateur: F·x_F = P·x_P, W = F − P

Bilan d’énergie

Chaleur sensible: Q = ṁ·c_p·ΔT
Chaleur latente: Q = ṁ·h_fg
Mélange: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Eau: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Loi des gaz parfaits

Loi des gaz parfaits: pV = nRT
Constante des gaz parfaits: R = 8,314 J/(mol·K)
Loi combinée des gaz: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Moles: n = m/M
Température: T[K] = T[°C] + 273,15

Stœchiométrie

Moles: n = m/M
Concentration: c = n/V
Rapport molaire: utiliser les coefficients de l’équation équilibrée
Réactif limitant: celui qui s’épuise en premier
Rendement: réel / théorique × 100%

Méthode

Écrivez et équilibrez l’équation chimique.
Convertis la masse donnée en moles : n = m/M.
Utilisez les coefficients comme rapport molaire pour trouver la quantité de matière de l’espèce cherchée.
Revenez à la masse avec m = n·M. Avec deux réactifs, trouvez d’abord le réactif limitant.

Équilibre chimique

Constante d’équilibre: K_c = [C]^c[D]^d/([A]^a[B]^b)
Tableau ICE: Initial, Changement (×coefficient), Équilibre
Équation du second degré: x = (−b + √(b² − 4ac))/(2a)

Méthode

Écrivez K_c avec les produits au numérateur et les réactifs au dénominateur, chacun élevé à la puissance de son coefficient.
Dressez un tableau d’avancement : état initial, variation (par pas de x fois les coefficients), équilibre.
Remplacez les expressions à l’équilibre dans K_c et résolvez pour x.
Vérifiez si x est assez petit pour une approximation ; sinon, résolvez l’équation du second degré.

Calorimétrie et enthalpie

Chaleur: q = m·c·ΔT
Eau: c = 4,18 J/(g·°C)
Calorimètre: chaleur cédée = chaleur reçue
Enthalpie de réaction: ΔH° = ΣΔH°_f(products) − ΣΔH°_f(reactants)

Cinétique chimique

Ordre 1: ln(C_A/C_A0) = −kt
Demi-vie (ordre 1): t_½ = ln 2/k
Ordre 2: 1/C_A = 1/C_A0 + kt
Arrhenius: k = A·e^−E_a/(RT)
Deux températures: ln(k₂/k₁) = (E_a/R)(1/T₁ − 1/T₂)

Dimensionnement des réacteurs (RPAC et RP)

Temps de passage: τ = V/Q
RPAC, premier ordre: τ = X/(k·(1 − X)), C_A = C_A0/(1 + kτ)
RP, premier ordre: τ = ln(1/(1 − X))/k, C_A = C_A0·e^−kτ
Conversion à partir du volume: CSTR: X = kτ/(1 + kτ), PFR: X = 1 − e^−kτ
N RPAC identiques en série: X = 1 − 1/(1 + kτ_i)^N

Échangeurs de chaleur (DTLM)

Puissance échangée: Q = U·A·ΔT_lm
Différence de température logarithmique moyenne (DTLM): ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
Bilan d’un fluide: Q = ṁc_p(T_in − T_out)

Conduction thermique

Loi de Fourier: Q̇ = kAΔT/L
Résistance de conduction: R = L/(kA)
Résistance de convection: R = 1/(hA)
Résistances en série: Q̇ = ΔT_total/ΣR
Coefficient U: U = 1/(ΣR·A)

Frottement en conduite et pertes de charge

Nombre de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régime d’écoulement: laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
Vitesse moyenne: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pertes de charge singulières: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valeurs typiques de K: entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
Chute de pression: Δp = ρ·g·h_f
Deux réservoirs à l’air libre: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sortie libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompes et puissance de pompage

Puissance hydraulique: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Puissance sur l’arbre: P_shaft = P_h/η_pump
Puissance électrique: P_el = P_shaft/η_motor
Hauteur manométrique de la pompe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pertes du réseau: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Exercices

1.Bilan matièreMoyen

Quelle quantité du flux 2 faut-il ajouter chaque heure au flux 1 pour que le mélange contienne 25 % de sucre ? Trouvez ṁ₂.

ṁ₁ = 700 kg/hx₁ = 30 %x₂ = 20 %x₃ = 25 %

ṁ₂ = kg/h

2.Bilan matièreDifficile

Un évaporateur concentre une solution de NaOH en évaporant de l’eau pure. Trouvez le débit de produit P en kg/h.

F = 4300 kg/hx_F = 15 %x_P = 45 %

P = kg/h

3.Bilan d’énergieMoyen

Du huile légère chaud refroidit de l’eau dans un échangeur à contre-courant sans pertes. Trouvez la température de sortie de l’eau t_out.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 90 °Cṁ_c = 1,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 15 °C

t_out = °C

4.Bilan d’énergieDifficile

Du éthanol chaud réchauffe de l’eau dans un échangeur qui perd vers l’extérieur 10 % de la chaleur cédée par le flux chaud. Trouvez le débit d’eau ṁ_c nécessaire.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 90 °Ct: 15 → 45 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)pertes = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Loi des gaz parfaitsMoyen

Quel volume V occupent 130 g de N₂ à 650 kPa et 35 °C ? Considérez-le comme un gaz parfait.

m = 130 gM = 28,01 g/molP = 650 kPaT = 35 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

6.Loi des gaz parfaitsDifficile

Trouvez la masse volumique ρ de He à 300 kPa et 170 °C, en le considérant comme un gaz parfait.

M = 4,003 g/molP = 300 kPaT = 170 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

7.StœchiométrieMoyen

12 g de C₃H₈ et 48 g de O₂ réagissent selon C₃H₈ + 5O₂ → 3CO₂ + 4H₂O. Quelle masse m de H₂O peut se former ?

M(C₃H₈) = 44,1M(O₂) = 32M(H₂O) = 18,02 g/mol

m = g

8.StœchiométrieDifficile

Dans la réaction C₃H₈ + 5O₂ → 3CO₂ + 4H₂O, 8 g de C₃H₈ réagissent complètement (les autres réactifs en excès) et on recueille 18,68 g de CO₂. Calcule le rendement Y.

M(C₃H₈) = 44,1 g/molM(CO₂) = 44,01 g/molréel: 18,68 g

Y = %

9.Équilibre chimiqueMoyen

On introduit 0,25 mol/L de H₂ et 0,25 mol/L de I₂ dans un récipient, où ils réagissent : H₂ + I₂ ⇌ 2HI, avec K_c = 64. Trouvez la concentration à l’équilibre [H₂].

[H₂]₀ = [I₂]₀ = 0,25 mol/LK_c = 64

[H₂] = mol/L

10.Équilibre chimiqueDifficile

PCl₅ se décompose : PCl₅ ⇌ PCl₃ + Cl₂, avec K_c = 0,02 à la température de la réaction. Un récipient contient au départ uniquement 0,1 mol/L de PCl₅. Trouvez la concentration à l’équilibre [PCl₅].

[PCl₅]₀ = 0,1 mol/LK_c = 0,02

[PCl₅] = mol/L

11.Calorimétrie et enthalpieMoyen

Un bloc en plomb de 200 g (c = 0,129 J/(g·°C)) à 160 °C est plongé dans 200 g d’eau (c = 4,18 J/(g·°C)) à 25 °C dans un récipient isolé. Trouvez la température finale T_f.

m_metal = 200 gc_metal = 0,129 J/(g·°C)T_metal = 160 °Cm_water = 200 gT_water = 25 °Cc_water = 4,18 J/(g·°C)

T_f = °C

12.Calorimétrie et enthalpieDifficile

Utilisez les enthalpies standard de formation pour trouver la chaleur q libérée par la combustion complète de 100 g de CH₃OH (M = 32,04 g/mol) : 2CH₃OH + 3O₂ → 2CO₂ + 4H₂O(l). Donnez q en valeur positive.

ΔH°f(CH₃OH) = −238,7 kJ/molΔH°f(CO₂) = −393,5 kJ/molΔH°f(H₂O, l) = −285,8 kJ/molΔH°f(O₂) = 0

q = kJ

13.Cinétique chimiqueMoyen

Dans une réaction d’ordre 1, la concentration de A passe de 0,8 mol/L à 0,32 mol/L en 60 min. Trouvez la constante de vitesse k.

C_A0 = 0,8 mol/LC_A = 0,32 mol/Lt = 60 min

k = min⁻¹

14.Cinétique chimiqueDifficile

Une réaction d’ordre 1 a une constante de vitesse de 0,1 s⁻¹ à 60 °C et une énergie d’activation de 60 kJ/mol. Trouvez le facteur pré-exponentiel A de l’équation d’Arrhenius.

k = 0,1 s⁻¹T = 60 °CE_a = 60 kJ/molR = 8,314 J/(mol·K)

A = s⁻¹

15.Dimensionnement des réacteurs (RPAC et RP)Moyen

Une réaction du premier ordre en phase liquide A → B de k = 0,08 min⁻¹ est réalisée dans un réacteur piston (RP) alimenté à 80 L/min. La masse volumique est constante et le réacteur est en régime permanent. Trouvez le volume du réacteur V en litres pour une conversion de A de 75 %.

Q = 80 L/mink = 0,08 min⁻¹X = 75%

V = L

16.Dimensionnement des réacteurs (RPAC et RP)Difficile

Une réaction du premier ordre en phase liquide (k = 0,15 min⁻¹) a lieu dans un réacteur piston (RP) de 400 L alimenté à 80 L/min. La masse volumique est constante et le réacteur est en régime permanent. Trouvez la conversion X en pourcentage.

V = 400 LQ = 80 L/mink = 0,15 min⁻¹

X = %

17.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen

Un échangeur de chaleur à co-courant transfère 20 kW. Sa surface d’échange est de 5 m². Le fluide chaud se refroidit de 110 à 85 °C et le fluide froid se réchauffe de 20 à 75 °C. Trouvez le coefficient global d’échange U.

Q̇ = 20 kWA = 5 m²T_h: 110 → 85 °CT_c: 20 → 75 °C

U = W/(m²·K)

18.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile

De l’huile chaude (0,5 kg/s, c_p = 2,3 kJ/(kg·K)) se refroidit de 140 à 45 °C dans un échangeur à contre-courant. Elle réchauffe 1,5 kg/s d’eau (c_p = 4,18 kJ/(kg·K)) qui entre à 20 °C. Avec U = 800 W/(m²·K), trouvez la surface d’échange A nécessaire.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 2,3 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 45 °Cṁ_c = 1,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)T_c,in = 20 °CU = 800 W/(m²·K)

A = m²

19.Conduction thermiqueMoyen

Un mur est composé de 50 mm de brique et de 75 mm de verre, avec une surface de 12 m². Les faces extérieures sont à 23 °C et -3 °C. Trouvez la température T_i à l’interface entre les deux couches.

L₁ = 50 mm, k₁ = 0,72 W/(m·K)L₂ = 75 mm, k₂ = 0,96 W/(m·K)A = 12 m²T₁ = 23 °CT₃ = -3 °C

T_i = °C

20.Conduction thermiqueDifficile

Un mur de 100 mm de polystyrène expansé et 75 mm de béton sépare une pièce à 20 °C de l’air extérieur à -9 °C. Les coefficients de convection valent 10 W/(m²·K) à l’intérieur et 20 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 4 m². Trouvez la perte de chaleur Q̇ à travers le mur.

L₁ = 100 mm, k₁ = 0,035 W/(m·K)L₂ = 75 mm, k₂ = 1,4 W/(m·K)A = 4 m²h_i = 10 W/(m²·K)h_o = 20 W/(m²·K)T_room = 20 °CT_out = -9 °C

Q̇ = W

21.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen

De l’eau s’écoule avec un débit de 25 L/s dans une conduite de 1000 m de long et de diamètre intérieur 100 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,028 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement h_f.

Q = 25 L/sL = 1000 mD = 100 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

22.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile

Une conduite de 200 m de long et de diamètre intérieur 300 mm (coefficient de frottement de Darcy f = 0,022) part d’un réservoir à l’air libre et débouche à l’air libre en jet. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 4 coudes (K = 0,3 chacun) et une vanne (K = 0,2). Prenez g = 9,81 m/s². De combien H la surface du réservoir doit-elle être au-dessus de la sortie de la conduite pour un débit de 120 L/s ?

Q = 120 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 0,2

H = m

23.Pompes et puissance de pompageMoyen

Une pompe de rendement 75 % débite 150 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 40 m. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance sur l’arbre P_shaft nécessaire, en kW.

Q = 150 L/sH = 40 mη = 75%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Pompes et puissance de pompageDifficile

Une pompe refoule 120 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 32 m plus haut. La conduite mesure 400 m de long, a un diamètre intérieur de 250 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,02 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 8 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le rendement de la pompe est de 78 %. Trouvez la puissance sur l’arbre P_shaft en kW.

Q = 120 L/sΔz = 32 mL = 400 mD = 250 mmf = 0,02ΣK = 8η = 78%

P_shaft = kW

3Solutions

1.Bilan matière

Réponse: ṁ₂ = 700 kg/h

Bilan matière en régime permanent : entrée = sortie pour le total et pour chaque composant. Les problèmes de mélange combinent les deux.

Bilans

Total: ṁ₃ = ṁ₁ + ṁ₂

sucre: ṁ₁x₁ + ṁ₂x₂ = (ṁ₁ + ṁ₂)x₃

Isoler ṁ₂

ṁ₂ = ṁ₁(x₁ − x₃)/(x₃ − x₂) = 700·(30 − 25)/(25 − 20) = 700 kg/h

Réponse

ṁ₂ = 700 kg/h

2.Bilan matière

Réponse: P = 1433 kg/h

Composant traceur : un composant qui traverse sans changement un seul flux (ici le soluté) relie directement les débits. Le bilan global donne ensuite le reste.

Bilan sur le soluté

F·x_F = P·x_P → P = 4300·15/45 = 1433 kg/h

Réponse

P = 1433 kg/h

3.Bilan d’énergie

Réponse: t_out = 23,37 °C

Bilan d’énergie de l’échangeur : sans pertes, ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Chaleur cédée par le flux chaud

Q = 0,5·2,1·(140 − 90) = 52,5 kW

Chaleur reçue par l’eau

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 15 + 52,5/(1,5·4,18) = 23,37 °C

Réponse

t_out = 23,37 °C

4.Bilan d’énergie

Réponse: ṁ_c = 2,101 kg/s

Bilan d’énergie avec pertes : chaleur cédée = chaleur absorbée + chaleur perdue.

Chaleur cédée

Q_h = 2·2,44·(150 − 90) = 292,8 kW

Chaleur qui atteint l’eau

Q_c = (1 − 0,1)·292,8 = 263,5 kW

Débit d’eau

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 263,5/(4,18·30) = 2,101 kg/s

Réponse

ṁ_c = 2,101 kg/s

5.Loi des gaz parfaits

Réponse: V = 18,29 L

Loi des gaz parfaits : PV = nRT, avec n = m/M.

Moles

n = 130/28,01 = 4,641 mol

T = 35 + 273,15 = 308,1 K

Volume

V = nRT/P = 4,641·8,314·308,1/650 = 18,29 L

Réponse

V = 18,29 L

6.Loi des gaz parfaits

Réponse: ρ = 0,3259 kg/m³

Masse volumique d’un gaz parfait : ρ = PM/(RT).

Réarranger la loi des gaz

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 170 + 273,15 = 443,1 K

Masse volumique

ρ = 300·4,003/(8,314·443,1) = 0,3259 kg/m³

Réponse

ρ = 0,3259 kg/m³

7.Stœchiométrie

Réponse: m = 19,61 g

Stœchiométrie : une équation équilibrée compte des particules, pas des grammes. Convertis la masse en moles avec n = m/M, utilise les coefficients de l'équation comme rapport molaire, puis reviens à la masse avec m = n·M. Avec deux réactifs, le réactif limitant est celui qui s'épuise en premier et fixe la quantité de produit formé.

Moles de chaque réactif

n(C₃H₈) = 12/44,1 = 0,2721 mol

n(O₂) = 48/32 = 1,5 mol

Réactif limitant

0,2721/1 = 0,2721, 1,5/5 = 0,3 → C₃H₈

Masse de produit

n(H₂O) = 0,2721·4 = 1,088 mol

m = 1,088·18,02 = 19,61 g

Réponse

m = 19,61 g

8.Stœchiométrie

Réponse: Y = 77,99 %

Rendement théorique

n(C₃H₈) = 8/44,1 = 0,1814 mol

m = 0,1814·3/1·44,01 = 23,95 g

Rendement

Y = 18,68/23,95·100 = 77,99%

Réponse

Y = 77,99%

9.Équilibre chimique

Réponse: [H₂] = 0,05 mol/L

Équilibre chimique : pour aA + bB ⇌ cC + dD, la constante d’équilibre est K_c = [C]^c[D]^d/([A]^a[B]^b), avec les concentrations à l’équilibre. Un tableau ICE (Initial, Changement, Équilibre) relie les quantités initiales aux quantités à l’équilibre par une seule inconnue x, multipliée par les coefficients.

Expression à l’équilibre

64 = (2x)²/(0,25 − x)²

Prendre la racine carrée

8 = 2x/(0,25 − x) → x = 0,25·8/(2 + 8) = 0,2 mol/L

Concentration à l’équilibre

[H₂] = 0,25 − x = 0,05 mol/L

Réponse

[H₂] = 0,05 mol/L

10.Équilibre chimique

Réponse: [PCl₅] = 0,06417 mol/L

Expression à l’équilibre

0,02 = x²/(0,1 − x) → x² + 0,02·x − 0,002 = 0

Résoudre l’équation du second degré

x = (−0,02 + √(0,02² + 4·0,002))/2 = 0,03583 mol/L

Concentration à l’équilibre

[PCl₅] = 0,1 − 0,03583 = 0,06417 mol/L

Réponse

[PCl₅] = 0,06417 mol/L

11.Calorimétrie et enthalpie

Réponse: T_f = 29,04 °C

Chaleur et enthalpie : chauffer une substance demande q = m·c·ΔT. Dans un calorimètre, la chaleur cédée par le corps chaud est égale à la chaleur reçue par le corps froid. La variation d’enthalpie d’une réaction se déduit des enthalpies de formation : ΔH° = ΣΔH°f(produits) − ΣΔH°f(réactifs), chacune multipliée par son coefficient.

Bilan thermique

200·0,129·(160 − T_f) = 200·4,18·(T_f − 25)

Isoler la température finale

T_f = (25,8·160 + 836·25)/(25,8 + 836) = 29,04 °C

Réponse

T_f = 29,04 °C

12.Calorimétrie et enthalpie

Réponse: q = 2267 kJ

Enthalpie de réaction

ΔH° = [2·(−393,5) + 4·(−285,8)] − [2·(−238,7) + 3·0] = −1453 kJ

Chaleur pour la masse donnée

n = 100/32,04 = 3,121 mol

q = n·|ΔH°/2| = 3,121·726,4 = 2267 kJ

Réponse

q = 2267 kJ

13.Cinétique chimique

Réponse: k = 0,01527 min⁻¹

Integrated rate laws: zero order: C = C₀ − kt (straight line, t½ = C₀/(2k)); first order: ln(C₀/C) = kt (t½ = ln 2/k); second order: 1/C − 1/C₀ = kt (t½ = 1/(kC₀)). Conversion X means C = C₀(1 − X).

Loi intégrée d’ordre 1

k = ln(C_A0/C_A)/t = ln(0,8/0,32)/60 = 0,9163/60 = 0,01527 min⁻¹

Réponse

k = 0,01527 min⁻¹

14.Cinétique chimique

Réponse: A = 2,557 × 10⁸ s⁻¹

Reaction rates: for a first-order reaction −dC/dt = kC, so C = C₀·e^−kt and the half-life ln 2/k does not depend on concentration. For a second-order reaction 1/C = 1/C₀ + kt. The rate constant rises with temperature following Arrhenius: k = A·e^−Ea/(RT).

Température absolue

T = 60 + 273,15 = 333,1 K

Isoler A dans Arrhenius

E_a/(RT) = 60000/(8,314·333,1) = 21,66

A = k·e^21,66 = 0,1·2,557 × 10⁹ = 2,557 × 10⁸ s⁻¹

Réponse

A = 2,557 × 10⁸ s⁻¹

15.Dimensionnement des réacteurs (RPAC et RP)

Réponse: V = 1386 L

Réacteurs idéaux, réaction du premier ordre (−r_A = k·C_A) en régime permanent, avec le temps de passage τ = V/Q. Un RPAC est parfaitement agité : tout le volume réagit donc à la faible concentration de sortie : τ = X/(k·(1 − X)) et C_A = C_A0/(1 + k·τ). Dans un réacteur piston (RP), chaque tranche de fluide réagit comme un petit réacteur fermé : τ = ln(1/(1 − X))/k et C_A = C_A0·e^−k·τ. Pour une même conversion, un RPAC demande toujours un volume plus grand qu’un RP.

Temps de passage

τ = ln(1/(1 − 0,75))/0,08 = 1,386/0,08 = 17,33 min

Volume

V = Q·τ = 80·17,33 = 1386 L

Réponse

V = 1386 L

16.Dimensionnement des réacteurs (RPAC et RP)

Réponse: X = 52,76 %

Temps de passage

τ = V/Q = 400/80 = 5 min, kτ = 0,15·5 = 0,75

Conversion

X = 1 − e^−kτ = 1 − e^−0,75 = 52,76%

Réponse

X = 52,76%

17.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: U = 109,9 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔT_lm, with ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔT_lm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Écarts de température aux extrémités

À co-courant, les deux entrées sont du même côté, et les deux sorties de l’autre.

ΔT₁ = T_h,in − T_c,in = 110 − 20 = 90 K

ΔT₂ = T_h,out − T_c,out = 85 − 75 = 10 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (90 − 10)/ln(90/10) = 36,41 K

Coefficient global

U = Q̇/(A·ΔT_lm) = 20000/(5·36,41) = 109,9 W/(m²·K)

Réponse

U = 109,9 W/(m²·K)

18.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: A = 2,485 m²

Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔT_lm, avec ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔT_lm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.

Puissance échangée et température de sortie de l’eau

Q̇ = ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = 0,5·2,3·95 = 109,2 kW

T_c,out = 20 + 109,2/(1,5·4,18) = 37,42 °C

Écarts de température aux extrémités

À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.

ΔT₁ = T_h,in − T_c,out = 140 − 37,42 = 102,6 K

ΔT₂ = T_h,out − T_c,in = 45 − 20 = 25 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (102,6 − 25)/ln(102,6/25) = 54,95 K

Surface

A = Q̇/(U·ΔT_lm) = 109250/(800·54,95) = 2,485 m²

Réponse

A = 2,485 m²

19.Conduction thermique

Réponse: T_i = 10,76 °C

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances des couches

R₁ = L₁/(k₁A) = (50/1000)/(0,72·12) = 0,005787 K/W

R₂ = L₂/(k₂A) = (75/1000)/(0,96·12) = 0,00651 K/W

Flux de chaleur

Q̇ = (T₁ − T₃)/(R₁ + R₂) = 26/0,0123 = 2114 W

Température à l’interface

La température baisse de Q̇·R₁ dans la première couche.

T_i = T₁ − Q̇·R₁ = 23 − 2114·0,005787 = 10,76 °C

Réponse

T_i = 10,76 °C

20.Conduction thermique

Réponse: Q̇ = 37,9 W

Résistances en série

R_i = 1/(h_iA) = 1/(10·4) = 0,025 K/W

R₁ = L₁/(k₁A) = (100/1000)/(0,035·4) = 0,7143 K/W

R₂ = L₂/(k₂A) = (75/1000)/(1,4·4) = 0,01339 K/W

R_o = 1/(h_oA) = 1/(20·4) = 0,0125 K/W

ΣR = 0,7652 K/W

Perte de chaleur

Q̇ = (20 − (-9))/0,7652 = 37,9 W

Réponse

Q̇ = 37,9 W

21.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: h_f = 144,6 m

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières h_m = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = h_f + h_m, perte de sortie K = 1 comprise.

Vitesse moyenne

A = π·0,1²/4 = 0,007854 m²

V = Q/A = 0,025/0,007854 = 3,183 m/s

Hauteur cinétique

V²/(2g) = 3,183²/(2·9,81) = 0,5164 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(1000/0,1)·3,183²/(2·9,81) = 144,6 m

Réponse

h_f = 144,6 m

22.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: H = 2,58 m

Vitesse

V = Q/A = 0,12/0,07069 = 1,698 m/s

V²/(2g) = 0,1469 m

Coefficients de perte de charge

f·L/D = 0,022·200/0,3 = 14,67

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 = 1,9

Équation de l’énergie

Le jet de sortie emporte encore sa hauteur cinétique ; ce n’est pas une perte, mais elle doit être fournie.

H = (1 + 14,67 + 1,9)·0,1469 = 2,58 m

Réponse

H = 2,58 m

23.Pompes et puissance de pompage

Réponse: P_shaft = 78,48 kW

Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : P_shaft = P_h/η_pump, et le moteur absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.

Puissance hydraulique

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·40 = 58,86 kW

Puissance sur l’arbre

P_shaft = P_h/η = 58,86/0,75 = 78,48 kW

Réponse

P_shaft = 78,48 kW

24.Pompes et puissance de pompage

Réponse: P_shaft = 66,68 kW

Vitesse

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Pertes de charge

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (32 + 8)·0,3046 = 12,18 m

Hauteur manométrique de la pompe

H = Δz + h_L = 32 + 12,18 = 44,18 m

Puissance sur l’arbre

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,12·44,18/0,78 = 66,68 kW

Réponse

P_shaft = 66,68 kW

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Entraînement à l’examen FE Chemical : pack de révision

1Formules et méthodes

Bilan matière

Bilan d’énergie

Loi des gaz parfaits

Stœchiométrie

Méthode

Équilibre chimique

Méthode

Calorimétrie et enthalpie

Cinétique chimique

Dimensionnement des réacteurs (RPAC et RP)

Échangeurs de chaleur (DTLM)

Conduction thermique

Frottement en conduite et pertes de charge

Pompes et puissance de pompage

2Exercices

3Solutions

Bilans

Isoler ṁ2

Réponse

Bilan sur le soluté

Réponse

Chaleur cédée par le flux chaud

Chaleur reçue par l’eau

Réponse

Chaleur cédée

Chaleur qui atteint l’eau

Débit d’eau

Réponse

Moles

Volume

Réponse

Réarranger la loi des gaz

Masse volumique

Réponse

Moles de chaque réactif

Réactif limitant

Masse de produit

Réponse

Rendement théorique

Rendement

Réponse

Expression à l’équilibre

Prendre la racine carrée

Concentration à l’équilibre

Réponse

Expression à l’équilibre

Résoudre l’équation du second degré

Concentration à l’équilibre

Réponse

Bilan thermique

Isoler la température finale

Réponse

Enthalpie de réaction

Chaleur pour la masse donnée

Réponse

Loi intégrée d’ordre 1

Réponse

Température absolue

Isoler A dans Arrhenius

Réponse

Temps de passage

Volume

Réponse

Temps de passage

Conversion

Réponse

Écarts de température aux extrémités

Écart de température moyen logarithmique

Coefficient global

Réponse

Puissance échangée et température de sortie de l’eau

Écarts de température aux extrémités

Écart de température moyen logarithmique

Surface

Réponse

Résistances des couches

Flux de chaleur

Température à l’interface

Isoler ṁ₂