Poussée hydrostatique
- Pression à une profondeur
- p = ρgh
- Force sur une paroi verticale
- F = ρg·hc·A
- Centre de poussée
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectangle
- Ic = bH³/12
Mécanique des fluides : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Continuité et Bernoulli
- Continuité
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Débit
- Q = A·v
- Aire du disque
- A = πd²/4
Frottement en conduite et pertes de charge
- Nombre de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régime d’écoulement
- laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
- Vitesse moyenne
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pertes de charge singulières
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valeurs typiques de K
- entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
- Chute de pression
- Δp = ρ·g·hf
- Deux réservoirs à l’air libre
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sortie libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompes et puissance de pompage
- Puissance hydraulique
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Puissance sur l’arbre
- Pshaft = Ph/ηpump
- Puissance électrique
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Hauteur manométrique de la pompe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pertes du réseau
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Exercices
1.Poussée hydrostatiqueMoyen
Une vanne rectangulaire verticale de 3 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 4 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
d = 4 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Poussée hydrostatiqueDifficile
Une vanne rectangulaire verticale de 3 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 1,5 m sous la surface. Trouvez la profondeur ycp du centre de poussée sous la surface.
d = 1,5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuité et BernoulliMoyen
De l’eau s’écoule dans un venturimètre horizontal de diamètre d’entrée 200 mm et de diamètre au col 150 mm. La pression à l’entrée dépasse de 54 kPa celle au col. En négligeant les pertes, trouvez le débit Q.
d1 = 200 mmd2 = 150 mmp1 − p2 = 54 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Continuité et BernoulliDifficile
Un tuyau de 25 mm de diamètre intérieur siphonne l’eau d’un réservoir ouvert. Le point le plus haut C du tuyau est à 0,5 m au-dessus de la surface de l’eau, et la sortie (à l’air libre) est à 1 m sous la surface de l’eau. Négligez les pertes et prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la pression absolue pC au point C. La pression atmosphérique vaut 101,3 kPa.
d = 25 mmzC = +0,5 mz2 = −1 mg = 9,81 m/s²patm = 101,3 kPa
pC = kPa
5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen
De l’eau s’écoule à une vitesse moyenne de 3 m/s dans une conduite de 50 m de long et de diamètre intérieur 150 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,028 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement hf.
V = 3 m/sL = 50 mD = 150 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile
Une conduite de 100 m de long et de diamètre intérieur 150 mm (coefficient de frottement de Darcy f = 0,015) part d’un réservoir à l’air libre et débouche à l’air libre en jet. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 2 coudes (K = 0,3 chacun) et une vanne (K = 10). Prenez g = 9,81 m/s². De combien H la surface du réservoir doit-elle être au-dessus de la sortie de la conduite pour un débit de 60 L/s ?
Q = 60 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 10
H = m
7.Pompes et puissance de pompageMoyen
Lors d’un essai, une pompe débite 20 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 60 m tandis que son arbre absorbe 18,1 kW. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le rendement de la pompe η en pourcentage.
Q = 20 L/sH = 60 mPshaft = 18,1 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompes et puissance de pompageDifficile
Une pompe refoule 50 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 6 m plus haut. La conduite mesure 150 m de long, a un diamètre intérieur de 200 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,02 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 6 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le rendement de la pompe est de 72 %. Trouvez la puissance sur l’arbre Pshaft en kW.
Q = 50 L/sΔz = 6 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 6η = 72%
Pshaft = kW
3Solutions
1.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 132,4 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,5·3 = 132,4 kN
Réponse
F = 132,4 kN
2.Poussée hydrostatique
Réponse: ycp = 2,633 m
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,5·6 = 147,2 kN
Centre de poussée
La pression augmente avec la profondeur, donc la résultante agit sous le centre de gravité.
Ic = b·H³/12 = 3·2³/12 = 2 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2,5 + 2/(2,5·6) = 2,633 m
Réponse
ycp = 2,633 m
3.Continuité et Bernoulli
Réponse: Q = 222,1 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Continuité
v1 = v2·(150/200)² = 0,5625·v2
Bernoulli entre l’entrée et le col
La conduite est horizontale, donc seules la pression et la vitesse varient.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·54000/(1000·(1 − 0,3164))) = 12,57 m/s
v1 = 7,07 m/s
Débit
Q = A2·v2 = 0,01767·12,57 = 0,2221 m³/s = 222,1 L/s
Réponse
Q = 222,1 L/s
4.Continuité et Bernoulli
Réponse: pC = 86,58 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Vitesse dans le tuyau
La surface et la sortie sont toutes deux à l’air libre, donc les termes de pression s’annulent.
v = √(2g·1) = √(2·9,81·1) = 4,429 m/s
Bernoulli de la surface à C
patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101,3 − 1000·(4,429²/2 + 9,81·0,5)/1000 = 101,3 − 14,71 = 86,58 kPa
Réponse
pC = 86,58 kPa
Si cette pression descend jusqu’à la pression de vapeur de l’eau, le siphon cesse de fonctionner.
5.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: hf = 4,281 m
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Hauteur cinétique
V²/(2g) = 3²/(2·9,81) = 0,4587 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(50/0,15)·3²/(2·9,81) = 4,281 m
Réponse
hf = 4,281 m
6.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: H = 12,99 m
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Vitesse
V = Q/A = 0,06/0,01767 = 3,395 m/s
V²/(2g) = 0,5876 m
Coefficients de perte de charge
f·L/D = 0,015·100/0,15 = 10
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 = 11,1
Équation de l’énergie
Le jet de sortie emporte encore sa hauteur cinétique ; ce n’est pas une perte, mais elle doit être fournie.
H = (1 + 10 + 11,1)·0,5876 = 12,99 m
Réponse
H = 12,99 m
7.Pompes et puissance de pompage
Réponse: η = 65,04 %
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Puissance hydraulique
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·60 = 11,77 kW
Rendement
η = Ph/Pshaft = 11,77/18,1 = 65,04%
Réponse
η = 65,04%
8.Pompes et puissance de pompage
Réponse: Pshaft = 5,935 kW
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Vitesse
V = Q/A = 0,05/0,03142 = 1,592 m/s
V²/(2g) = 0,1291 m
Pertes de charge
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 6)·0,1291 = 2,711 m
Hauteur manométrique de la pompe
H = Δz + hL = 6 + 2,711 = 8,711 m
Puissance sur l’arbre
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·8,711/0,72 = 5,935 kW
Réponse
Pshaft = 5,935 kW
ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics