Poussée hydrostatique
- Pression à une profondeur
- p = ρgh
- Force sur une paroi verticale
- F = ρg·hc·A
- Centre de poussée
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectangle
- Ic = bH³/12
Mécanique des fluides : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Continuité et Bernoulli
- Continuité
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Débit
- Q = A·v
- Aire du disque
- A = πd²/4
Frottement en conduite et pertes de charge
- Nombre de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régime d’écoulement
- laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
- Vitesse moyenne
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pertes de charge singulières
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valeurs typiques de K
- entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
- Chute de pression
- Δp = ρ·g·hf
- Deux réservoirs à l’air libre
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sortie libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompes et puissance de pompage
- Puissance hydraulique
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Puissance sur l’arbre
- Pshaft = Ph/ηpump
- Puissance électrique
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Hauteur manométrique de la pompe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pertes du réseau
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Exercices
1.Poussée hydrostatiqueMoyen
Une vanne rectangulaire verticale de 1 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 3 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
d = 3 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Poussée hydrostatiqueDifficile
Une vanne rectangulaire verticale de 1 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau de mer, avec son bord supérieur à 4 m sous la surface. Trouvez la profondeur ycp du centre de poussée sous la surface.
d = 4 mH = 3 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuité et BernoulliMoyen
De l’eau s’écoule dans un venturimètre horizontal de diamètre d’entrée 200 mm et de diamètre au col 100 mm. La pression à l’entrée dépasse de 60 kPa celle au col. En négligeant les pertes, trouvez le débit Q.
d1 = 200 mmd2 = 100 mmp1 − p2 = 60 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Continuité et BernoulliDifficile
Un tuyau de 20 mm de diamètre intérieur siphonne l’eau d’un réservoir ouvert. Le point le plus haut C du tuyau est à 1,5 m au-dessus de la surface de l’eau, et la sortie (à l’air libre) est à 3 m sous la surface de l’eau. Négligez les pertes et prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le débit Q.
d = 20 mmzC = +1,5 mz2 = −3 mg = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen
De l’eau s’écoule avec un débit de 6 L/s dans une conduite de 200 m de long et de diamètre intérieur 50 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,025 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement hf.
Q = 6 L/sL = 200 mD = 50 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile
Une conduite de 400 m de long et de diamètre intérieur 200 mm (coefficient de frottement de Darcy f = 0,015) part d’un réservoir à l’air libre et débouche à l’air libre en jet. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 4 coudes (K = 0,3 chacun) et une vanne (K = 10). Prenez g = 9,81 m/s². De combien H la surface du réservoir doit-elle être au-dessus de la sortie de la conduite pour un débit de 75 L/s ?
Q = 75 L/sL = 400 mD = 200 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 10
H = m
7.Pompes et puissance de pompageMoyen
Une pompe de rendement 85 % débite 100 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 50 m. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance sur l’arbre Pshaft nécessaire, en kW.
Q = 100 L/sH = 50 mη = 85%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pompes et puissance de pompageDifficile
Une pompe refoule 40 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 9 m plus haut. La conduite mesure 600 m de long, a un diamètre intérieur de 150 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,02 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 8 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le réservoir supérieur est fermé et l’air au-dessus de l’eau est à une pression relative de 100 kPa. Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.
Q = 40 L/sΔz = 9 mL = 600 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 8ptank = 100 kPa
H = m
3Solutions
1.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 132,4 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,5·3 = 132,4 kN
Réponse
F = 132,4 kN
2.Poussée hydrostatique
Réponse: ycp = 5,636 m
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·5,5·3 = 165,9 kN
Centre de poussée
La pression augmente avec la profondeur, donc la résultante agit sous le centre de gravité.
Ic = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2,25 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 5,5 + 2,25/(5,5·3) = 5,636 m
Réponse
ycp = 5,636 m
3.Continuité et Bernoulli
Réponse: Q = 88,86 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Continuité
v1 = v2·(100/200)² = 0,25·v2
Bernoulli entre l’entrée et le col
La conduite est horizontale, donc seules la pression et la vitesse varient.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·60000/(1000·(1 − 0,0625))) = 11,31 m/s
v1 = 2,828 m/s
Débit
Q = A2·v2 = 0,007854·11,31 = 0,08886 m³/s = 88,86 L/s
Réponse
Q = 88,86 L/s
4.Continuité et Bernoulli
Réponse: Q = 2,41 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Vitesse dans le tuyau
La surface et la sortie sont toutes deux à l’air libre, donc les termes de pression s’annulent.
v = √(2g·3) = √(2·9,81·3) = 7,672 m/s
Débit
Q = A·v = 0,0003142·7,672 = 0,00241 m³/s = 2,41 L/s
Réponse
Q = 2,41 L/s
5.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: hf = 47,59 m
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Vitesse moyenne
A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²
V = Q/A = 0,006/0,001963 = 3,056 m/s
Hauteur cinétique
V²/(2g) = 3,056²/(2·9,81) = 0,4759 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(200/0,05)·3,056²/(2·9,81) = 47,59 m
Réponse
hf = 47,59 m
6.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: H = 12,4 m
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Vitesse
V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s
V²/(2g) = 0,2905 m
Coefficients de perte de charge
f·L/D = 0,015·400/0,2 = 30
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 = 11,7
Équation de l’énergie
Le jet de sortie emporte encore sa hauteur cinétique ; ce n’est pas une perte, mais elle doit être fournie.
H = (1 + 30 + 11,7)·0,2905 = 12,4 m
Réponse
H = 12,4 m
7.Pompes et puissance de pompage
Réponse: Pshaft = 57,71 kW
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Puissance hydraulique
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·50 = 49,05 kW
Puissance sur l’arbre
Pshaft = Ph/η = 49,05/0,85 = 57,71 kW
Réponse
Pshaft = 57,71 kW
8.Pompes et puissance de pompage
Réponse: H = 42,17 m
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Vitesse
V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s
V²/(2g) = 0,2611 m
Pertes de charge
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (80 + 8)·0,2611 = 22,98 m
Hauteur de pression
p/(ρ·g) = 100000/(1000·9,81) = 10,19 m
Hauteur manométrique de la pompe
Les deux surfaces sont pratiquement au repos ; il n’y a donc pas de terme de hauteur cinétique.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 9 + 10,19 + 22,98 = 42,17 m
Réponse
H = 42,17 m
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