Poussée hydrostatique
- Pression à une profondeur
- p = ρgh
- Force sur une paroi verticale
- F = ρg·hc·A
- Centre de poussée
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectangle
- Ic = bH³/12
Mécanique des fluides : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Continuité et Bernoulli
- Continuité
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Débit
- Q = A·v
- Aire du disque
- A = πd²/4
Frottement en conduite et pertes de charge
- Nombre de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régime d’écoulement
- laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
- Vitesse moyenne
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pertes de charge singulières
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valeurs typiques de K
- entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
- Chute de pression
- Δp = ρ·g·hf
- Deux réservoirs à l’air libre
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sortie libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompes et puissance de pompage
- Puissance hydraulique
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Puissance sur l’arbre
- Pshaft = Ph/ηpump
- Puissance électrique
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Hauteur manométrique de la pompe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pertes du réseau
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Exercices
1.Poussée hydrostatiqueMoyen
Une vanne rectangulaire verticale de 2 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 1 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
d = 1 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Poussée hydrostatiqueDifficile
Une vanne rectangulaire verticale de 1 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de huile, avec son bord supérieur à 0,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
d = 0,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuité et BernoulliMoyen
De l’eau s’écoule à 36 L/s dans une conduite horizontale qui se rétrécit de 100 mm à 75 mm. La pression dans la partie étroite vaut 70 kPa. En négligeant les pertes, trouvez la pression p1 dans la partie large.
Q = 36 L/sd1 = 100 mmd2 = 75 mmp2 = 70 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
4.Continuité et BernoulliDifficile
L’eau monte dans une conduite qui se rétrécit de 75 mm à 50 mm en s’élevant de 9 m. En section 1, la pression vaut 290 kPa et la vitesse 0,75 m/s. En négligeant les pertes, trouvez la pression p2 en section 2.
d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 290 kPav1 = 0,75 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen
De l’eau s’écoule à une vitesse moyenne de 0,8 m/s dans une conduite de 800 m de long et de diamètre intérieur 300 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,03 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement hf.
V = 0,8 m/sL = 800 mD = 300 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile
Une conduite de 100 m de long et de diamètre intérieur 150 mm (coefficient de frottement de Darcy f = 0,018) part d’un réservoir à l’air libre et débouche à l’air libre en jet. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 2 coudes (K = 0,3 chacun) et une vanne (K = 10). Prenez g = 9,81 m/s². De combien H la surface du réservoir doit-elle être au-dessus de la sortie de la conduite pour un débit de 40 L/s ?
Q = 40 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 10
H = m
7.Pompes et puissance de pompageMoyen
Une pompe de rendement 78 % débite 25 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 54 m. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance sur l’arbre Pshaft nécessaire, en kW.
Q = 25 L/sH = 54 mη = 78%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pompes et puissance de pompageDifficile
Une pompe refoule 75 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 11 m plus haut. La conduite mesure 200 m de long, a un diamètre intérieur de 250 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,02 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 6 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le réservoir supérieur est fermé et l’air au-dessus de l’eau est à une pression relative de 100 kPa. Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.
Q = 75 L/sΔz = 11 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,02ΣK = 6ptank = 100 kPa
H = m
3Solutions
1.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 51,5 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m
A = H·b = 1,5·2 = 3 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,75·3 = 51,5 kN
Réponse
F = 51,5 kN
2.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 51,8 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·2·3 = 51,8 kN
Réponse
F = 51,8 kN
3.Continuité et Bernoulli
Réponse: p1 = 92,7 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Vitesses
v1 = Q/A1 = 0,036/0,007854 = 4,584 m/s
v2 = Q/A2 = 0,036/0,004418 = 8,149 m/s
Bernoulli
p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 70 + ½·1000·(8,149² − 4,584²)/1000 = 70 + 22,7 = 92,7 kPa
Réponse
p1 = 92,7 kPa
4.Continuité et Bernoulli
Réponse: p2 = 200,6 kPa
Continuité et Bernoulli : pour un fluide incompressible, le débit est le même dans toutes les sections, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Le long d’une ligne de courant sans pertes, p + ½ρv² + ρgz est constant, donc là où le fluide va plus vite ou plus haut, sa pression est plus faible.
Continuité et Bernoulli
Travaillez en Pa, puis divisez par 1000 pour obtenir des kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 0,75·(75/50)² = 1,688 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,75² − 1,688²)/1000 = −1,143 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·9/1000 = 88,29 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 290 + (−1,143) − 88,29 = 200,6 kPa
Réponse
p2 = 200,6 kPa
5.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: hf = 2,61 m
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Hauteur cinétique
V²/(2g) = 0,8²/(2·9,81) = 0,03262 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(800/0,3)·0,8²/(2·9,81) = 2,61 m
Réponse
hf = 2,61 m
6.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: H = 6,294 m
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Vitesse
V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s
V²/(2g) = 0,2611 m
Coefficients de perte de charge
f·L/D = 0,018·100/0,15 = 12
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 = 11,1
Équation de l’énergie
Le jet de sortie emporte encore sa hauteur cinétique ; ce n’est pas une perte, mais elle doit être fournie.
H = (1 + 12 + 11,1)·0,2611 = 6,294 m
Réponse
H = 6,294 m
7.Pompes et puissance de pompage
Réponse: Pshaft = 16,98 kW
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Puissance hydraulique
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·54 = 13,24 kW
Puissance sur l’arbre
Pshaft = Ph/η = 13,24/0,78 = 16,98 kW
Réponse
Pshaft = 16,98 kW
8.Pompes et puissance de pompage
Réponse: H = 23,81 m
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Vitesse
V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s
V²/(2g) = 0,119 m
Pertes de charge
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16 + 6)·0,119 = 2,618 m
Hauteur de pression
p/(ρ·g) = 100000/(1000·9,81) = 10,19 m
Hauteur manométrique de la pompe
Les deux surfaces sont pratiquement au repos ; il n’y a donc pas de terme de hauteur cinétique.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 11 + 10,19 + 2,618 = 23,81 m
Réponse
H = 23,81 m
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