Poussée hydrostatique
- Pression à une profondeur
- p = ρgh
- Force sur une paroi verticale
- F = ρg·hc·A
- Centre de poussée
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectangle
- Ic = bH³/12
Mécanique des fluides : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Continuité et Bernoulli
- Continuité
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Débit
- Q = A·v
- Aire du disque
- A = πd²/4
Frottement en conduite et pertes de charge
- Nombre de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régime d’écoulement
- laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
- Vitesse moyenne
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pertes de charge singulières
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valeurs typiques de K
- entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
- Chute de pression
- Δp = ρ·g·hf
- Deux réservoirs à l’air libre
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sortie libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompes et puissance de pompage
- Puissance hydraulique
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Puissance sur l’arbre
- Pshaft = Ph/ηpump
- Puissance électrique
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Hauteur manométrique de la pompe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pertes du réseau
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Exercices
1.Poussée hydrostatiqueMoyen
Une vanne rectangulaire verticale de 2 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 0,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
d = 0,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Poussée hydrostatiqueDifficile
Une vanne rectangulaire verticale de 1 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau de mer, avec son bord supérieur à 3 m sous la surface. Trouvez la profondeur ycp du centre de poussée sous la surface.
d = 3 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuité et BernoulliMoyen
De l’eau s’écoule d’un grand réservoir ouvert par un orifice à arête vive de 50 mm de diamètre. Le niveau d’eau est maintenu à 5,5 m au-dessus de l’orifice et le coefficient de débit vaut 0,65. Trouvez le débit Q. Prenez g = 9,81 m/s².
d = 50 mmh = 5,5 mCd = 0,65g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.Continuité et BernoulliDifficile
Un réservoir d’eau fermé contient de l’air comprimé au-dessus de l’eau à une pression relative de 160 kPa. L’eau sort à l’air libre par un orifice de 30 mm de diamètre, situé 3 m sous la surface de l’eau. En négligeant les pertes, trouvez la vitesse du jet v. Prenez g = 9,81 m/s².
pair = 160 kPa (relative)h = 3 md = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
v = m/s
5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen
De l’eau s’écoule à une vitesse moyenne de 1,7 m/s dans une conduite de 500 m de long et de diamètre intérieur 150 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,03 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement hf.
V = 1,7 m/sL = 500 mD = 150 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile
Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 100 m de long, de diamètre intérieur 250 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,025. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 2 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 10) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Quelle différence de niveau d’eau Δz entre les réservoirs donne un débit de 100 L/s ?
Q = 100 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,025Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pompes et puissance de pompageMoyen
Une pompe de rendement 85 % débite 80 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 68 m. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance sur l’arbre Pshaft nécessaire, en kW.
Q = 80 L/sH = 68 mη = 85%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pompes et puissance de pompageDifficile
Une pompe refoule 75 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 8 m plus haut. La conduite mesure 150 m de long, a un diamètre intérieur de 250 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,025 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 5 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le rendement de la pompe est de 65 %. Trouvez la puissance sur l’arbre Pshaft en kW.
Q = 75 L/sΔz = 8 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,025ΣK = 5η = 65%
Pshaft = kW
3Solutions
1.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 19,62 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1·2 = 19,62 kN
Réponse
F = 19,62 kN
2.Poussée hydrostatique
Réponse: ycp = 3,8 m
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m
A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·3,75·1,5 = 56,56 kN
Centre de poussée
La pression augmente avec la profondeur, donc la résultante agit sous le centre de gravité.
Ic = b·H³/12 = 1·1,5³/12 = 0,2813 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3,75 + 0,2813/(3,75·1,5) = 3,8 m
Réponse
ycp = 3,8 m
3.Continuité et Bernoulli
Réponse: Q = 13,26 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Vitesse idéale du jet
√(2gh) = √(2·9,81·5,5) = 10,39 m/s
Débit réel
Le coefficient de débit tient compte de la contraction du jet et du frottement sur l’arête.
Q = Cd·A·√(2gh) = 0,65·0,001963·10,39 = 0,01326 m³/s = 13,26 L/s
Réponse
Q = 13,26 L/s
4.Continuité et Bernoulli
Réponse: v = 19,46 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Bernoulli de la surface au jet
v = √(2·(160000/1000 + 9,81·3)) = 19,46 m/s
Réponse
v = 19,46 m/s
5.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: hf = 14,73 m
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Hauteur cinétique
V²/(2g) = 1,7²/(2·9,81) = 0,1473 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(500/0,15)·1,7²/(2·9,81) = 14,73 m
Réponse
hf = 14,73 m
6.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: Δz = 4,675 m
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Vitesse
V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s
V²/(2g) = 0,2115 m
Coefficients de perte de charge
f·L/D = 0,025·100/0,25 = 10
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1
Perte de charge totale
hf = 10·0,2115 = 2,115 m
hm = 12,1·0,2115 = 2,559 m
Δz = hf + hm = 4,675 m
Réponse
Δz = 4,675 m
7.Pompes et puissance de pompage
Réponse: Pshaft = 62,78 kW
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Puissance hydraulique
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·68 = 53,37 kW
Puissance sur l’arbre
Pshaft = Ph/η = 53,37/0,85 = 62,78 kW
Réponse
Pshaft = 62,78 kW
8.Pompes et puissance de pompage
Réponse: Pshaft = 11,75 kW
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Vitesse
V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s
V²/(2g) = 0,119 m
Pertes de charge
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 5)·0,119 = 2,38 m
Hauteur manométrique de la pompe
H = Δz + hL = 8 + 2,38 = 10,38 m
Puissance sur l’arbre
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,075·10,38/0,65 = 11,75 kW
Réponse
Pshaft = 11,75 kW
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