Poussée hydrostatique
- Pression à une profondeur
- p = ρgh
- Force sur une paroi verticale
- F = ρg·hc·A
- Centre de poussée
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectangle
- Ic = bH³/12
Mécanique des fluides : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Continuité et Bernoulli
- Continuité
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Débit
- Q = A·v
- Aire du disque
- A = πd²/4
Frottement en conduite et pertes de charge
- Nombre de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régime d’écoulement
- laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
- Vitesse moyenne
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pertes de charge singulières
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valeurs typiques de K
- entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
- Chute de pression
- Δp = ρ·g·hf
- Deux réservoirs à l’air libre
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sortie libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompes et puissance de pompage
- Puissance hydraulique
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Puissance sur l’arbre
- Pshaft = Ph/ηpump
- Puissance électrique
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Hauteur manométrique de la pompe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pertes du réseau
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Exercices
1.Poussée hydrostatiqueMoyen
Une vanne rectangulaire verticale de 2 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 2,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
d = 2,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Poussée hydrostatiqueDifficile
Une vanne rectangulaire verticale de 1 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de huile, avec son bord supérieur à 4 m sous la surface. Trouvez la profondeur ycp du centre de poussée sous la surface.
d = 4 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuité et BernoulliMoyen
De l’eau s’écoule dans un venturimètre horizontal de diamètre d’entrée 300 mm et de diamètre au col 150 mm. La pression à l’entrée dépasse de 38 kPa celle au col. En négligeant les pertes, trouvez le débit Q.
d1 = 300 mmd2 = 150 mmp1 − p2 = 38 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Continuité et BernoulliDifficile
La buse d’une fontaine est dirigée verticalement vers le haut. Juste sous la buse, la conduite d’alimentation a un diamètre de 100 mm et une pression relative de 20 kPa. Le diamètre de sortie de la buse est de 25 mm et la différence de hauteur à travers la buse est négligeable. En négligeant les pertes et la résistance de l’air, trouvez la hauteur H à laquelle le jet s’élève au-dessus de la buse. Prenez g = 9,81 m/s².
d1 = 100 mmp1 = 20 kPa (relative)d2 = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
H = m
5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen
De l’eau (ρ = 1000 kg/m³) s’écoule à 1,8 m/s dans une conduite horizontale de 200 m de long et de diamètre intérieur 250 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,02 et g = 9,81 m/s². Trouvez la chute de pression Δp le long de la conduite, en kPa.
V = 1,8 m/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,02ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile
Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 100 m de long, de diamètre intérieur 100 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,015. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 3 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 10) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Quelle différence de niveau d’eau Δz entre les réservoirs donne un débit de 15 L/s ?
Q = 15 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pompes et puissance de pompageMoyen
Une pompe débite 50 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 18 m. Le rendement de la pompe est de 60 % et le moteur électrique qui l’entraîne a un rendement de 94 %. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance électrique Pel absorbée par le moteur, en kW.
Q = 50 L/sH = 18 mηpump = 60%ηmotor = 94%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Pompes et puissance de pompageDifficile
Une pompe refoule 120 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 25 m plus haut. La conduite mesure 200 m de long, a un diamètre intérieur de 250 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,015 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 6 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le rendement de la pompe est de 78 %. Trouvez la puissance sur l’arbre Pshaft en kW.
Q = 120 L/sΔz = 25 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 6η = 78%
Pshaft = kW
3Solutions
1.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 58,86 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3·2 = 58,86 kN
Réponse
F = 58,86 kN
2.Poussée hydrostatique
Réponse: ycp = 4,789 m
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m
A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·4,75·1,5 = 61,51 kN
Centre de poussée
La pression augmente avec la profondeur, donc la résultante agit sous le centre de gravité.
Ic = b·H³/12 = 1·1,5³/12 = 0,2813 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 4,75 + 0,2813/(4,75·1,5) = 4,789 m
Réponse
ycp = 4,789 m
3.Continuité et Bernoulli
Réponse: Q = 159,1 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Continuité
v1 = v2·(150/300)² = 0,25·v2
Bernoulli entre l’entrée et le col
La conduite est horizontale, donc seules la pression et la vitesse varient.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·38000/(1000·(1 − 0,0625))) = 9,004 m/s
v1 = 2,251 m/s
Débit
Q = A2·v2 = 0,01767·9,004 = 0,1591 m³/s = 159,1 L/s
Réponse
Q = 159,1 L/s
4.Continuité et Bernoulli
Réponse: H = 2,047 m
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Vitesse de sortie
β = 25/100 = 0,25
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·20000/(1000·0,9961)) = 6,337 m/s
Hauteur du jet
Bernoulli le long du jet : au sommet, la vitesse est nulle et la pression est de nouveau atmosphérique.
H = v2²/(2g) = 6,337²/(2·9,81) = 2,047 m
Réponse
H = 2,047 m
5.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: Δp = 25,92 kPa
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Perte de charge
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(200/0,25)·1,8²/(2·9,81) = 2,642 m
Chute de pression
La conduite est horizontale et la vitesse ne change pas ; l’équation de l’énergie se réduit donc à Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·2,642 = 25920 Pa = 25,92 kPa
Réponse
Δp = 25,92 kPa
6.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: Δz = 5,094 m
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Vitesse
V = Q/A = 0,015/0,007854 = 1,91 m/s
V²/(2g) = 0,1859 m
Coefficients de perte de charge
f·L/D = 0,015·100/0,1 = 15
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4
Perte de charge totale
hf = 15·0,1859 = 2,789 m
hm = 12,4·0,1859 = 2,305 m
Δz = hf + hm = 5,094 m
Réponse
Δz = 5,094 m
7.Pompes et puissance de pompage
Réponse: Pel = 15,65 kW
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Puissance hydraulique
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·18 = 8,829 kW
Puissance sur l’arbre
Pshaft = 8,829/0,6 = 14,72 kW
Puissance électrique
Pel = 14,72/0,94 = 15,65 kW
Réponse
Pel = 15,65 kW
8.Pompes et puissance de pompage
Réponse: Pshaft = 46,01 kW
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Vitesse
V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s
V²/(2g) = 0,3046 m
Pertes de charge
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12 + 6)·0,3046 = 5,483 m
Hauteur manométrique de la pompe
H = Δz + hL = 25 + 5,483 = 30,48 m
Puissance sur l’arbre
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,12·30,48/0,78 = 46,01 kW
Réponse
Pshaft = 46,01 kW
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