Poussée hydrostatique
- Pression à une profondeur
- p = ρgh
- Force sur une paroi verticale
- F = ρg·hc·A
- Centre de poussée
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectangle
- Ic = bH³/12
Mécanique des fluides : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Continuité et Bernoulli
- Continuité
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Débit
- Q = A·v
- Aire du disque
- A = πd²/4
Frottement en conduite et pertes de charge
- Nombre de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régime d’écoulement
- laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
- Vitesse moyenne
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pertes de charge singulières
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valeurs typiques de K
- entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
- Chute de pression
- Δp = ρ·g·hf
- Deux réservoirs à l’air libre
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sortie libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompes et puissance de pompage
- Puissance hydraulique
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Puissance sur l’arbre
- Pshaft = Ph/ηpump
- Puissance électrique
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Hauteur manométrique de la pompe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pertes du réseau
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Exercices
1.Poussée hydrostatiqueMoyen
Une vanne rectangulaire verticale de 3 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 0,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
d = 0,5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Poussée hydrostatiqueDifficile
Une vanne rectangulaire verticale de 3 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de huile, avec son bord supérieur à 0,5 m sous la surface. Trouvez la profondeur ycp du centre de poussée sous la surface.
d = 0,5 mH = 1 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuité et BernoulliMoyen
De l’eau s’écoule dans un venturimètre horizontal de diamètre d’entrée 200 mm et de diamètre au col 150 mm. La pression à l’entrée dépasse de 44 kPa celle au col. En négligeant les pertes, trouvez le débit Q.
d1 = 200 mmd2 = 150 mmp1 − p2 = 44 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Continuité et BernoulliDifficile
Un venturimètre horizontal (entrée 250 mm, col 125 mm) est parcouru par de l’eau. Un manomètre différentiel en U à mercure relié entre l’entrée et le col indique une dénivellation de 240 mm. Le coefficient de débit vaut 0,96. Trouvez le débit Q. Prenez ρ = 1000 kg/m³ pour l’eau, 13 600 kg/m³ pour le mercure et g = 9,81 m/s².
d1 = 250 mmd2 = 125 mmΔh = 240 mmCd = 0,96ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen
De l’eau s’écoule avec un débit de 12 L/s dans une conduite de 800 m de long et de diamètre intérieur 100 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,03 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement hf.
Q = 12 L/sL = 800 mD = 100 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile
Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 100 m de long, de diamètre intérieur 250 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,015. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 2 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 0,2) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Quelle différence de niveau d’eau Δz entre les réservoirs donne un débit de 75 L/s ?
Q = 75 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 0,2Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pompes et puissance de pompageMoyen
Une pompe débite 40 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 40 m. Le rendement de la pompe est de 65 % et le moteur électrique qui l’entraîne a un rendement de 95 %. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance électrique Pel absorbée par le moteur, en kW.
Q = 40 L/sH = 40 mηpump = 65%ηmotor = 95%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Pompes et puissance de pompageDifficile
Une pompe refoule 80 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 7 m plus haut. La conduite mesure 500 m de long, a un diamètre intérieur de 200 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,022 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 6 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le réservoir supérieur est fermé et l’air au-dessus de l’eau est à une pression relative de 350 kPa. Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.
Q = 80 L/sΔz = 7 mL = 500 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 6ptank = 350 kPa
H = m
3Solutions
1.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 29,43 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1·3 = 29,43 kN
Réponse
F = 29,43 kN
2.Poussée hydrostatique
Réponse: ycp = 1,083 m
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·1·3 = 25,9 kN
Centre de poussée
La pression augmente avec la profondeur, donc la résultante agit sous le centre de gravité.
Ic = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0,25 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1 + 0,25/(1·3) = 1,083 m
Réponse
ycp = 1,083 m
3.Continuité et Bernoulli
Réponse: Q = 200,5 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Continuité
v1 = v2·(150/200)² = 0,5625·v2
Bernoulli entre l’entrée et le col
La conduite est horizontale, donc seules la pression et la vitesse varient.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·44000/(1000·(1 − 0,3164))) = 11,35 m/s
v1 = 6,382 m/s
Débit
Q = A2·v2 = 0,01767·11,35 = 0,2005 m³/s = 200,5 L/s
Réponse
Q = 200,5 L/s
4.Continuité et Bernoulli
Réponse: Q = 93,72 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Différence de pression d’après le manomètre
Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,24 = 29665 Pa
Vitesse au col
La continuité et Bernoulli donnent ensemble la vitesse idéale au col.
β = 125/250 = 0,5
v2 = √(2·29665/(1000·(1 − 0,0625))) = 7,955 m/s
Débit réel
Q = Cd·A2·v2 = 0,96·0,01227·7,955 = 0,09372 m³/s = 93,72 L/s
Réponse
Q = 93,72 L/s
5.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: hf = 28,56 m
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Vitesse moyenne
A = π·0,1²/4 = 0,007854 m²
V = Q/A = 0,012/0,007854 = 1,528 m/s
Hauteur cinétique
V²/(2g) = 1,528²/(2·9,81) = 0,119 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(800/0,1)·1,528²/(2·9,81) = 28,56 m
Réponse
hf = 28,56 m
6.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: Δz = 0,9876 m
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Vitesse
V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s
V²/(2g) = 0,119 m
Coefficients de perte de charge
f·L/D = 0,015·100/0,25 = 6
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,3
Perte de charge totale
hf = 6·0,119 = 0,7139 m
hm = 2,3·0,119 = 0,2737 m
Δz = hf + hm = 0,9876 m
Réponse
Δz = 0,9876 m
7.Pompes et puissance de pompage
Réponse: Pel = 25,42 kW
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Puissance hydraulique
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·40 = 15,7 kW
Puissance sur l’arbre
Pshaft = 15,7/0,65 = 24,15 kW
Puissance électrique
Pel = 24,15/0,95 = 25,42 kW
Réponse
Pel = 25,42 kW
8.Pompes et puissance de pompage
Réponse: H = 62,84 m
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Vitesse
V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m
Pertes de charge
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (55 + 6)·0,3305 = 20,16 m
Hauteur de pression
p/(ρ·g) = 350000/(1000·9,81) = 35,68 m
Hauteur manométrique de la pompe
Les deux surfaces sont pratiquement au repos ; il n’y a donc pas de terme de hauteur cinétique.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 7 + 35,68 + 20,16 = 62,84 m
Réponse
H = 62,84 m
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