Mécanique des fluides : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Poussée hydrostatique

Pression à une profondeur: p = ρgh
Force sur une paroi verticale: F = ρg·h_c·A
Centre de poussée: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectangle: I_c = bH³/12

Continuité et Bernoulli

Continuité: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Débit: Q = A·v
Aire du disque: A = πd²/4

Frottement en conduite et pertes de charge

Nombre de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régime d’écoulement: laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
Vitesse moyenne: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pertes de charge singulières: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valeurs typiques de K: entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
Chute de pression: Δp = ρ·g·h_f
Deux réservoirs à l’air libre: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sortie libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompes et puissance de pompage

Puissance hydraulique: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Puissance sur l’arbre: P_shaft = P_h/η_pump
Puissance électrique: P_el = P_shaft/η_motor
Hauteur manométrique de la pompe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pertes du réseau: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Exercices

1.Poussée hydrostatiqueMoyen

Une vanne rectangulaire verticale de 1 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 2 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 2 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Poussée hydrostatiqueDifficile

Une vanne rectangulaire verticale de 2 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau de mer, avec son bord supérieur à 0,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 0,5 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuité et BernoulliMoyen

De l’eau s’écoule à 15 L/s dans une conduite horizontale qui se rétrécit de 150 mm à 100 mm. La pression dans la partie étroite vaut 160 kPa. En négligeant les pertes, trouvez la pression p₁ dans la partie large.

Q = 15 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₂ = 160 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuité et BernoulliDifficile

La buse d’une fontaine est dirigée verticalement vers le haut. Juste sous la buse, la conduite d’alimentation a un diamètre de 100 mm et une pression relative de 100 kPa. Le diamètre de sortie de la buse est de 25 mm et la différence de hauteur à travers la buse est négligeable. En négligeant les pertes et la résistance de l’air, trouvez la hauteur H à laquelle le jet s’élève au-dessus de la buse. Prenez g = 9,81 m/s².

d₁ = 100 mmp₁ = 100 kPa (relative)d₂ = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen

De l’eau s’écoule avec un débit de 8 L/s dans une conduite de 400 m de long et de diamètre intérieur 75 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,022 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement h_f.

Q = 8 L/sL = 400 mD = 75 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile

Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 100 m de long, de diamètre intérieur 100 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,025. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 2 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 5) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Quelle différence de niveau d’eau Δz entre les réservoirs donne un débit de 20 L/s ?

Q = 20 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompes et puissance de pompageMoyen

Une pompe débite 20 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 30 m. Le rendement de la pompe est de 78 % et le moteur électrique qui l’entraîne a un rendement de 90 %. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance électrique P_el absorbée par le moteur, en kW.

Q = 20 L/sH = 30 mη_pump = 78%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompes et puissance de pompageDifficile

Une pompe refoule 20 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 12 m plus haut. La conduite mesure 400 m de long, a un diamètre intérieur de 100 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,025 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 8 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le réservoir supérieur est fermé et l’air au-dessus de l’eau est à une pression relative de 350 kPa. Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.

Q = 20 L/sΔz = 12 mL = 400 mD = 100 mmf = 0,025ΣK = 8p_tank = 350 kPa

H = m

3Solutions

1.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 103 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·3 = 103 kN

Réponse

F = 103 kN

2.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 87,98 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·1,75·5 = 87,98 kN

Réponse

F = 87,98 kN

3.Continuité et Bernoulli

Réponse: p₁ = 161,5 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Vitesses

v₁ = Q/A₁ = 0,015/0,01767 = 0,8488 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,015/0,007854 = 1,91 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 160 + ½·1000·(1,91² − 0,8488²)/1000 = 160 + 1,464 = 161,5 kPa

Réponse

p₁ = 161,5 kPa

4.Continuité et Bernoulli

Réponse: H = 10,23 m

Vitesse de sortie

β = 25/100 = 0,25

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·100000/(1000·0,9961)) = 14,17 m/s

Hauteur du jet

Bernoulli le long du jet : au sommet, la vitesse est nulle et la pression est de nouveau atmosphérique.

H = v₂²/(2g) = 14,17²/(2·9,81) = 10,23 m

Réponse

H = 10,23 m

5.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: h_f = 19,61 m

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières h_m = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = h_f + h_m, perte de sortie K = 1 comprise.

Vitesse moyenne

A = π·0,075²/4 = 0,004418 m²

V = Q/A = 0,008/0,004418 = 1,811 m/s

Hauteur cinétique

V²/(2g) = 1,811²/(2·9,81) = 0,1671 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(400/0,075)·1,811²/(2·9,81) = 19,61 m

Réponse

h_f = 19,61 m

6.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: Δz = 10,61 m

Vitesse

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Coefficients de perte de charge

f·L/D = 0,025·100/0,1 = 25

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1

Perte de charge totale

h_f = 25·0,3305 = 8,263 m

h_m = 7,1·0,3305 = 2,347 m

Δz = h_f + h_m = 10,61 m

Réponse

Δz = 10,61 m

7.Pompes et puissance de pompage

Réponse: P_el = 8,385 kW

Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : P_shaft = P_h/η_pump, et le moteur absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.

Puissance hydraulique

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·30 = 5,886 kW

Puissance sur l’arbre

P_shaft = 5,886/0,78 = 7,546 kW

Puissance électrique

P_el = 7,546/0,9 = 8,385 kW

Réponse

P_el = 8,385 kW

8.Pompes et puissance de pompage

Réponse: H = 83,37 m

Vitesse

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Pertes de charge

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (100 + 8)·0,3305 = 35,69 m

Hauteur de pression

p/(ρ·g) = 350000/(1000·9,81) = 35,68 m

Hauteur manométrique de la pompe

Les deux surfaces sont pratiquement au repos ; il n’y a donc pas de terme de hauteur cinétique.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 12 + 35,68 + 35,69 = 83,37 m

Réponse

H = 83,37 m

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