Mécanique des fluides : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Poussée hydrostatique

Pression à une profondeur: p = ρgh
Force sur une paroi verticale: F = ρg·h_c·A
Centre de poussée: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectangle: I_c = bH³/12

Continuité et Bernoulli

Continuité: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Débit: Q = A·v
Aire du disque: A = πd²/4

Frottement en conduite et pertes de charge

Nombre de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régime d’écoulement: laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
Vitesse moyenne: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pertes de charge singulières: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valeurs typiques de K: entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
Chute de pression: Δp = ρ·g·h_f
Deux réservoirs à l’air libre: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sortie libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompes et puissance de pompage

Puissance hydraulique: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Puissance sur l’arbre: P_shaft = P_h/η_pump
Puissance électrique: P_el = P_shaft/η_motor
Hauteur manométrique de la pompe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pertes du réseau: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Exercices

1.Poussée hydrostatiqueMoyen

Une vanne rectangulaire verticale de 1,5 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 3 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 3 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Poussée hydrostatiqueDifficile

Une vanne rectangulaire verticale de 1 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 2 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 2 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuité et BernoulliMoyen

De l’eau s’écoule à 18 L/s dans une conduite horizontale qui se rétrécit de 150 mm à 75 mm. La pression dans la partie étroite vaut 90 kPa. En négligeant les pertes, trouvez la pression p₁ dans la partie large.

Q = 18 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₂ = 90 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuité et BernoulliDifficile

Un tuyau de 40 mm de diamètre intérieur siphonne l’eau d’un réservoir ouvert. Le point le plus haut C du tuyau est à 3 m au-dessus de la surface de l’eau, et la sortie (à l’air libre) est à 2 m sous la surface de l’eau. Négligez les pertes et prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le débit Q.

d = 40 mmz_C = +3 mz₂ = −2 mg = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen

De l’eau s’écoule avec un débit de 100 L/s dans une conduite de 150 m de long et de diamètre intérieur 200 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,018 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement h_f.

Q = 100 L/sL = 150 mD = 200 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile

Une conduite de 150 m de long et de diamètre intérieur 200 mm (coefficient de frottement de Darcy f = 0,022) part d’un réservoir à l’air libre et débouche à l’air libre en jet. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 4 coudes (K = 0,3 chacun) et une vanne (K = 2). Prenez g = 9,81 m/s². De combien H la surface du réservoir doit-elle être au-dessus de la sortie de la conduite pour un débit de 60 L/s ?

Q = 60 L/sL = 150 mD = 200 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2

H = m

7.Pompes et puissance de pompageMoyen

Une pompe de rendement 85 % débite 50 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 40 m. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance sur l’arbre P_shaft nécessaire, en kW.

Q = 50 L/sH = 40 mη = 85%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompes et puissance de pompageDifficile

Une pompe refoule 40 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 12 m plus haut. La conduite mesure 150 m de long, a un diamètre intérieur de 150 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,018 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 5 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le rendement de la pompe est de 75 %. Trouvez la puissance sur l’arbre P_shaft en kW.

Q = 40 L/sΔz = 12 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,018ΣK = 5η = 75%

P_shaft = kW

3Solutions

1.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 156,3 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,25·3,75 = 156,3 kN

Réponse

F = 156,3 kN

2.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 24,52 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·1 = 24,52 kN

Réponse

F = 24,52 kN

3.Continuité et Bernoulli

Réponse: p₁ = 97,78 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Vitesses

v₁ = Q/A₁ = 0,018/0,01767 = 1,019 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,018/0,004418 = 4,074 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 90 + ½·1000·(4,074² − 1,019²)/1000 = 90 + 7,781 = 97,78 kPa

Réponse

p₁ = 97,78 kPa

4.Continuité et Bernoulli

Réponse: Q = 7,872 L/s

Vitesse dans le tuyau

La surface et la sortie sont toutes deux à l’air libre, donc les termes de pression s’annulent.

v = √(2g·2) = √(2·9,81·2) = 6,264 m/s

Débit

Q = A·v = 0,001257·6,264 = 0,007872 m³/s = 7,872 L/s

Réponse

Q = 7,872 L/s

5.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: h_f = 6,972 m

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières h_m = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = h_f + h_m, perte de sortie K = 1 comprise.

Vitesse moyenne

A = π·0,2²/4 = 0,03142 m²

V = Q/A = 0,1/0,03142 = 3,183 m/s

Hauteur cinétique

V²/(2g) = 3,183²/(2·9,81) = 0,5164 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(150/0,2)·3,183²/(2·9,81) = 6,972 m

Réponse

h_f = 6,972 m

6.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: H = 3,941 m

Vitesse

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Coefficients de perte de charge

f·L/D = 0,022·150/0,2 = 16,5

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 = 3,7

Équation de l’énergie

Le jet de sortie emporte encore sa hauteur cinétique ; ce n’est pas une perte, mais elle doit être fournie.

H = (1 + 16,5 + 3,7)·0,1859 = 3,941 m

Réponse

H = 3,941 m

7.Pompes et puissance de pompage

Réponse: P_shaft = 23,08 kW

Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : P_shaft = P_h/η_pump, et le moteur absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.

Puissance hydraulique

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·40 = 19,62 kW

Puissance sur l’arbre

P_shaft = P_h/η = 19,62/0,85 = 23,08 kW

Réponse

P_shaft = 23,08 kW

8.Pompes et puissance de pompage

Réponse: P_shaft = 9,421 kW

Vitesse

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Pertes de charge

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 5)·0,2611 = 6,006 m

Hauteur manométrique de la pompe

H = Δz + h_L = 12 + 6,006 = 18,01 m

Puissance sur l’arbre

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,04·18,01/0,75 = 9,421 kW

Réponse

P_shaft = 9,421 kW

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