Mécanique des fluides : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Poussée hydrostatique

Pression à une profondeur
p = ρgh
Force sur une paroi verticale
F = ρg·hc·A
Centre de poussée
yp = yc + Ic/(ycA)
Rectangle
Ic = bH³/12

Continuité et Bernoulli

Continuité
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Débit
Q = A·v
Aire du disque
A = πd²/4

Frottement en conduite et pertes de charge

Nombre de Reynolds
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régime d’écoulement
laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
Vitesse moyenne
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Pertes de charge singulières
hm = ΣK·V²/(2g)
Valeurs typiques de K
entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
Chute de pression
Δp = ρ·g·hf
Deux réservoirs à l’air libre
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sortie libre
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompes et puissance de pompage

Puissance hydraulique
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Puissance sur l’arbre
Pshaft = Ph/ηpump
Puissance électrique
Pel = Pshaft/ηmotor
Hauteur manométrique de la pompe
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Pertes du réseau
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Exercices

1.Poussée hydrostatiqueMoyen
vanned = 3 mH = 2 m

Une vanne rectangulaire verticale de 1 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 3 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 3 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Poussée hydrostatiqueDifficile
vanned = 1 mH = 3 m

Une vanne rectangulaire verticale de 1,5 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de huile, avec son bord supérieur à 1 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 1 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuité et BernoulliMoyen
v = ?p0​pp0​ − p = 26 kPapoint d’arrêt

Un tube de Pitot statique dans une conduite d’eau indique une différence de 26 kPa entre la pression d’arrêt et la pression statique. Trouvez la vitesse de l’eau v à l’extrémité du tube.

p0 − p = 26 kPaρ = 1000 kg/m³
v = m/s
4.Continuité et BernoulliDifficile
12d1​ = 150 mm, p1​ = 350 kPad2​ = 100 mm, p2​ = ?Δz = 3 m

L’eau monte dans une conduite qui se rétrécit de 150 mm à 100 mm en s’élevant de 3 m. En section 1, la pression vaut 350 kPa et la vitesse 3 m/s. En négligeant les pertes, trouvez la pression p2 en section 2.

d1 = 150 mmd2 = 100 mmp1 = 350 kPav1 = 3 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen
V = 2,8 m/sD = 250 mmL = 50 mf = 0,028

De l’eau s’écoule à une vitesse moyenne de 2,8 m/s dans une conduite de 50 m de long et de diamètre intérieur 250 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,028 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement hf.

V = 2,8 m/sL = 50 mD = 250 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile
K = 10sortie libreH = ?L = 100 m, D = 300 mm, f = 0,0183× coude (K = 0,3)

Une conduite de 100 m de long et de diamètre intérieur 300 mm (coefficient de frottement de Darcy f = 0,018) part d’un réservoir à l’air libre et débouche à l’air libre en jet. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 3 coudes (K = 0,3 chacun) et une vanne (K = 10). Prenez g = 9,81 m/s². De combien H la surface du réservoir doit-elle être au-dessus de la sortie de la conduite pour un débit de 75 L/s ?

Q = 75 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 10
H = m
7.Pompes et puissance de pompageMoyen
PQ = 20 L/sH = 60 m

Une pompe de rendement 65 % débite 20 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 60 m. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance sur l’arbre Pshaft nécessaire, en kW.

Q = 20 L/sH = 60 mη = 65%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pompes et puissance de pompageDifficile
250 kPa (relative)PQ = 120 L/sΔz = 18 mL = 100 m, D = 250 mm, f = 0,025, ΣK = 5

Une pompe refoule 120 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 18 m plus haut. La conduite mesure 100 m de long, a un diamètre intérieur de 250 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,025 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 5 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le réservoir supérieur est fermé et l’air au-dessus de l’eau est à une pression relative de 250 kPa. Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.

Q = 120 L/sΔz = 18 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,025ΣK = 5ptank = 250 kPa
H = m

3Solutions

1.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 78,48 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

yc = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
vanned = 3 mH = 2 mF

Force résultante

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4·2 = 78,48 kN

Réponse

F = 78,48 kN
2.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 97,12 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

yc = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m
A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²
vanned = 1 mH = 3 mF

Force résultante

F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·2,5·4,5 = 97,12 kN

Réponse

F = 97,12 kN
3.Continuité et Bernoulli

Réponse: v = 7,211 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli jusqu’au point d’arrêt

L’écoulement s’arrête à l’extrémité du tube, donc son énergie cinétique apparaît sous forme de surpression.

p0 − p = ½ρv²
v = √(2·26000/1000) = 7,211 m/s

Réponse

v = 7,211 m/s
4.Continuité et Bernoulli

Réponse: p2 = 302,3 kPa

Continuité et Bernoulli : pour un fluide incompressible, le débit est le même dans toutes les sections, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Le long d’une ligne de courant sans pertes, p + ½ρv² + ρgz est constant, donc là où le fluide va plus vite ou plus haut, sa pression est plus faible.

Continuité et Bernoulli

Travaillez en Pa, puis divisez par 1000 pour obtenir des kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 3·(150/100)² = 6,75 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(3² − 6,75²)/1000 = −18,28 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·3/1000 = 29,43 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 350 + (−18,28) − 29,43 = 302,3 kPa

Réponse

p2 = 302,3 kPa
5.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: hf = 2,238 m

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.

Hauteur cinétique

V²/(2g) = 2,8²/(2·9,81) = 0,3996 m

Darcy–Weisbach

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(50/0,25)·2,8²/(2·9,81) = 2,238 m

Réponse

hf = 2,238 m
6.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: H = 1,056 m

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.

Vitesse

V = Q/A = 0,075/0,07069 = 1,061 m/s
V²/(2g) = 0,05738 m

Coefficients de perte de charge

f·L/D = 0,018·100/0,3 = 6
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 = 11,4

Équation de l’énergie

Le jet de sortie emporte encore sa hauteur cinétique ; ce n’est pas une perte, mais elle doit être fournie.

H = (1 + 6 + 11,4)·0,05738 = 1,056 m

Réponse

H = 1,056 m
7.Pompes et puissance de pompage

Réponse: Pshaft = 18,11 kW

Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.

Puissance hydraulique

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·60 = 11,77 kW

Puissance sur l’arbre

Pshaft = Ph/η = 11,77/0,65 = 18,11 kW

Réponse

Pshaft = 18,11 kW
8.Pompes et puissance de pompage

Réponse: H = 48,05 m

Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.

Vitesse

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s
V²/(2g) = 0,3046 m

Pertes de charge

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10 + 5)·0,3046 = 4,569 m

Hauteur de pression

p/(ρ·g) = 250000/(1000·9,81) = 25,48 m

Hauteur manométrique de la pompe

Les deux surfaces sont pratiquement au repos ; il n’y a donc pas de terme de hauteur cinétique.

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 18 + 25,48 + 4,569 = 48,05 m

Réponse

H = 48,05 m

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