Poussée hydrostatique
- Pression à une profondeur
- p = ρgh
- Force sur une paroi verticale
- F = ρg·hc·A
- Centre de poussée
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectangle
- Ic = bH³/12
Mécanique des fluides : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Continuité et Bernoulli
- Continuité
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Débit
- Q = A·v
- Aire du disque
- A = πd²/4
Frottement en conduite et pertes de charge
- Nombre de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régime d’écoulement
- laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
- Vitesse moyenne
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pertes de charge singulières
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valeurs typiques de K
- entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
- Chute de pression
- Δp = ρ·g·hf
- Deux réservoirs à l’air libre
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sortie libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompes et puissance de pompage
- Puissance hydraulique
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Puissance sur l’arbre
- Pshaft = Ph/ηpump
- Puissance électrique
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Hauteur manométrique de la pompe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pertes du réseau
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Exercices
1.Poussée hydrostatiqueMoyen
Une vanne rectangulaire verticale de 1 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 2 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
d = 2 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Poussée hydrostatiqueDifficile
Une vanne rectangulaire verticale de 1,5 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau de mer, avec son bord supérieur à 0,5 m sous la surface. Trouvez la profondeur ycp du centre de poussée sous la surface.
d = 0,5 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuité et BernoulliMoyen
L’eau circule dans une conduite horizontale qui se rétrécit de 75 mm à 50 mm. Dans la partie large, la pression vaut 160 kPa et la vitesse 1,75 m/s. En négligeant les pertes, trouvez la pression p2 dans la partie étroite.
d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 160 kPav1 = 1,75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuité et BernoulliDifficile
Un réservoir d’eau fermé contient de l’air comprimé au-dessus de l’eau à une pression relative de 140 kPa. L’eau sort à l’air libre par un orifice de 25 mm de diamètre, situé 2 m sous la surface de l’eau. En négligeant les pertes, trouvez la vitesse du jet v. Prenez g = 9,81 m/s².
pair = 140 kPa (relative)h = 2 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
v = m/s
5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen
De l’eau (ρ = 1000 kg/m³) s’écoule à 2,4 m/s dans une conduite horizontale de 400 m de long et de diamètre intérieur 50 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,03 et g = 9,81 m/s². Trouvez la chute de pression Δp le long de la conduite, en kPa.
V = 2,4 m/sL = 400 mD = 50 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile
Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 300 m de long, de diamètre intérieur 250 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,02. La surface de l’eau du réservoir supérieur est 25 m plus haut que celle du réservoir inférieur. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 4 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 0,2) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le débit Q en L/s.
Δz = 25 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 0,2Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompes et puissance de pompageMoyen
Une pompe débite 25 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 12 m. Le rendement de la pompe est de 78 % et le moteur électrique qui l’entraîne a un rendement de 90 %. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance électrique Pel absorbée par le moteur, en kW.
Q = 25 L/sH = 12 mηpump = 78%ηmotor = 90%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Pompes et puissance de pompageDifficile
Une pompe refoule 25 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 6 m plus haut. La conduite mesure 300 m de long, a un diamètre intérieur de 150 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,025 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 8 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le réservoir supérieur est fermé et l’air au-dessus de l’eau est à une pression relative de 150 kPa. Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.
Q = 25 L/sΔz = 6 mL = 300 mD = 150 mmf = 0,025ΣK = 8ptank = 150 kPa
H = m
3Solutions
1.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 79,71 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m
A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,25·2,5 = 79,71 kN
Réponse
F = 79,71 kN
2.Poussée hydrostatique
Réponse: ycp = 2,375 m
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m
A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·2·4,5 = 90,5 kN
Centre de poussée
La pression augmente avec la profondeur, donc la résultante agit sous le centre de gravité.
Ic = b·H³/12 = 1,5·3³/12 = 3,375 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2 + 3,375/(2·4,5) = 2,375 m
Réponse
ycp = 2,375 m
3.Continuité et Bernoulli
Réponse: p2 = 153,8 kPa
Continuité et Bernoulli : pour un fluide incompressible, le débit est le même dans toutes les sections, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Le long d’une ligne de courant sans pertes, p + ½ρv² + ρgz est constant, donc là où le fluide va plus vite ou plus haut, sa pression est plus faible.
Continuité et Bernoulli
Travaillez en Pa, puis divisez par 1000 pour obtenir des kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,75·(75/50)² = 3,938 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,75² − 3,938²)/1000 = −6,221 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 160 + (−6,221) = 153,8 kPa
Réponse
p2 = 153,8 kPa
4.Continuité et Bernoulli
Réponse: v = 17,87 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Bernoulli de la surface au jet
v = √(2·(140000/1000 + 9,81·2)) = 17,87 m/s
Réponse
v = 17,87 m/s
5.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: Δp = 691,2 kPa
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Perte de charge
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(400/0,05)·2,4²/(2·9,81) = 70,46 m
Chute de pression
La conduite est horizontale et la vitesse ne change pas ; l’équation de l’énergie se réduit donc à Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·70,46 = 691200 Pa = 691,2 kPa
Réponse
Δp = 691,2 kPa
6.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: Q = 209,6 L/s
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Coefficients de perte de charge
f·L/D = 0,02·300/0,25 = 24
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,9
Équation de l’énergie
Les deux surfaces sont à l’air libre et pratiquement au repos ; tout Δz est donc perdu dans la conduite.
25 = (24 + 2,9)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·25/26,9) = 4,27 m/s
Débit
Q = V·π·D²/4 = 4,27·0,04909 = 0,2096 m³/s = 209,6 L/s
Réponse
Q = 209,6 L/s
7.Pompes et puissance de pompage
Réponse: Pel = 4,192 kW
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Puissance hydraulique
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·12 = 2,943 kW
Puissance sur l’arbre
Pshaft = 2,943/0,78 = 3,773 kW
Puissance électrique
Pel = 3,773/0,9 = 4,192 kW
Réponse
Pel = 4,192 kW
8.Pompes et puissance de pompage
Réponse: H = 27,21 m
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Vitesse
V = Q/A = 0,025/0,01767 = 1,415 m/s
V²/(2g) = 0,102 m
Pertes de charge
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (50 + 8)·0,102 = 5,916 m
Hauteur de pression
p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m
Hauteur manométrique de la pompe
Les deux surfaces sont pratiquement au repos ; il n’y a donc pas de terme de hauteur cinétique.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 6 + 15,29 + 5,916 = 27,21 m
Réponse
H = 27,21 m
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