Mécanique des fluides : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Poussée hydrostatique

Pression à une profondeur: p = ρgh
Force sur une paroi verticale: F = ρg·h_c·A
Centre de poussée: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectangle: I_c = bH³/12

Continuité et Bernoulli

Continuité: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Débit: Q = A·v
Aire du disque: A = πd²/4

Frottement en conduite et pertes de charge

Nombre de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régime d’écoulement: laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
Vitesse moyenne: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pertes de charge singulières: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valeurs typiques de K: entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
Chute de pression: Δp = ρ·g·h_f
Deux réservoirs à l’air libre: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sortie libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompes et puissance de pompage

Puissance hydraulique: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Puissance sur l’arbre: P_shaft = P_h/η_pump
Puissance électrique: P_el = P_shaft/η_motor
Hauteur manométrique de la pompe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pertes du réseau: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Exercices

1.Poussée hydrostatiqueMoyen

Une vanne rectangulaire verticale de 3 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 1 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 1 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Poussée hydrostatiqueDifficile

Une vanne rectangulaire verticale de 1,5 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de glycérine, avec son bord supérieur à 1,5 m sous la surface. Trouvez la profondeur y_cp du centre de poussée sous la surface.

d = 1,5 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuité et BernoulliMoyen

De l’eau s’écoule à 38 L/s dans une conduite horizontale qui se rétrécit de 150 mm à 75 mm. La pression dans la partie étroite vaut 270 kPa. En négligeant les pertes, trouvez la pression p₁ dans la partie large.

Q = 38 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₂ = 270 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuité et BernoulliDifficile

La buse d’une fontaine est dirigée verticalement vers le haut. Juste sous la buse, la conduite d’alimentation a un diamètre de 100 mm et une pression relative de 110 kPa. Le diamètre de sortie de la buse est de 25 mm et la différence de hauteur à travers la buse est négligeable. En négligeant les pertes et la résistance de l’air, trouvez la hauteur H à laquelle le jet s’élève au-dessus de la buse. Prenez g = 9,81 m/s².

d₁ = 100 mmp₁ = 110 kPa (relative)d₂ = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen

De l’eau (ρ = 1000 kg/m³) s’écoule à 1,1 m/s dans une conduite horizontale de 400 m de long et de diamètre intérieur 100 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,022 et g = 9,81 m/s². Trouvez la chute de pression Δp le long de la conduite, en kPa.

V = 1,1 m/sL = 400 mD = 100 mmf = 0,022ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile

Une conduite de 150 m de long et de diamètre intérieur 300 mm (coefficient de frottement de Darcy f = 0,015) part d’un réservoir à l’air libre et débouche à l’air libre en jet. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 3 coudes (K = 0,3 chacun) et une vanne (K = 0,2). Prenez g = 9,81 m/s². De combien H la surface du réservoir doit-elle être au-dessus de la sortie de la conduite pour un débit de 200 L/s ?

Q = 200 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 0,2

H = m

7.Pompes et puissance de pompageMoyen

Une pompe de rendement 65 % débite 50 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 62 m. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance sur l’arbre P_shaft nécessaire, en kW.

Q = 50 L/sH = 62 mη = 65%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompes et puissance de pompageDifficile

Une pompe refoule 120 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 7 m plus haut. La conduite mesure 100 m de long, a un diamètre intérieur de 250 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,025 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 8 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.

Q = 120 L/sΔz = 7 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,025ΣK = 8

H = m

3Solutions

1.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 117,7 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·6 = 117,7 kN

Réponse

F = 117,7 kN

2.Poussée hydrostatique

Réponse: y_cp = 2,333 m

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·2,25·2,25 = 62,58 kN

Centre de poussée

La pression augmente avec la profondeur, donc la résultante agit sous le centre de gravité.

I_c = b·H³/12 = 1,5·1,5³/12 = 0,4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,25 + 0,4219/(2,25·2,25) = 2,333 m

Réponse

y_cp = 2,333 m

3.Continuité et Bernoulli

Réponse: p₁ = 304,7 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Vitesses

v₁ = Q/A₁ = 0,038/0,01767 = 2,15 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,038/0,004418 = 8,601 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 270 + ½·1000·(8,601² − 2,15²)/1000 = 270 + 34,68 = 304,7 kPa

Réponse

p₁ = 304,7 kPa

4.Continuité et Bernoulli

Réponse: H = 11,26 m

Vitesse de sortie

β = 25/100 = 0,25

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·110000/(1000·0,9961)) = 14,86 m/s

Hauteur du jet

Bernoulli le long du jet : au sommet, la vitesse est nulle et la pression est de nouveau atmosphérique.

H = v₂²/(2g) = 14,86²/(2·9,81) = 11,26 m

Réponse

H = 11,26 m

5.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: Δp = 53,24 kPa

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières h_m = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = h_f + h_m, perte de sortie K = 1 comprise.

Perte de charge

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(400/0,1)·1,1²/(2·9,81) = 5,427 m

Chute de pression

La conduite est horizontale et la vitesse ne change pas ; l’équation de l’énergie se réduit donc à Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·5,427 = 53240 Pa = 53,24 kPa

Réponse

Δp = 53,24 kPa

6.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: H = 4,121 m

Vitesse

V = Q/A = 0,2/0,07069 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Coefficients de perte de charge

f·L/D = 0,015·150/0,3 = 7,5

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 0,2 = 1,6

Équation de l’énergie

Le jet de sortie emporte encore sa hauteur cinétique ; ce n’est pas une perte, mais elle doit être fournie.

H = (1 + 7,5 + 1,6)·0,408 = 4,121 m

Réponse

H = 4,121 m

7.Pompes et puissance de pompage

Réponse: P_shaft = 46,79 kW

Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : P_shaft = P_h/η_pump, et le moteur absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.

Puissance hydraulique

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·62 = 30,41 kW

Puissance sur l’arbre

P_shaft = P_h/η = 30,41/0,65 = 46,79 kW

Réponse

P_shaft = 46,79 kW

8.Pompes et puissance de pompage

Réponse: H = 12,48 m

Vitesse

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Pertes de charge

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10 + 8)·0,3046 = 5,483 m

Hauteur manométrique de la pompe

Les deux surfaces sont à l’air libre et pratiquement au repos ; les termes de pression et de vitesse disparaissent donc.

H = Δz + h_L = 7 + 5,483 = 12,48 m

Réponse

H = 12,48 m

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