Mécanique des fluides : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Poussée hydrostatique

Pression à une profondeur
p = ρgh
Force sur une paroi verticale
F = ρg·hc·A
Centre de poussée
yp = yc + Ic/(ycA)
Rectangle
Ic = bH³/12

Continuité et Bernoulli

Continuité
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Débit
Q = A·v
Aire du disque
A = πd²/4

Frottement en conduite et pertes de charge

Nombre de Reynolds
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régime d’écoulement
laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
Vitesse moyenne
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Pertes de charge singulières
hm = ΣK·V²/(2g)
Valeurs typiques de K
entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
Chute de pression
Δp = ρ·g·hf
Deux réservoirs à l’air libre
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sortie libre
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompes et puissance de pompage

Puissance hydraulique
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Puissance sur l’arbre
Pshaft = Ph/ηpump
Puissance électrique
Pel = Pshaft/ηmotor
Hauteur manométrique de la pompe
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Pertes du réseau
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Exercices

1.Poussée hydrostatiqueMoyen
vanned = 2,5 mH = 2 m

Une vanne rectangulaire verticale de 3 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 2,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 2,5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Poussée hydrostatiqueDifficile
vanned = 1,5 mH = 1 m

Une vanne rectangulaire verticale de 2 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de glycérine, avec son bord supérieur à 1,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 1,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuité et BernoulliMoyen
12d1​ = 75 mm, p1​ = 320 kPad2​ = 40 mm, p2​ = ?

L’eau circule dans une conduite horizontale qui se rétrécit de 75 mm à 40 mm. Dans la partie large, la pression vaut 320 kPa et la vitesse 1,5 m/s. En négligeant les pertes, trouvez la pression p2 dans la partie étroite.

d1 = 75 mmd2 = 40 mmp1 = 320 kPav1 = 1,5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuité et BernoulliDifficile
12d1​ = 100 mm, p1​ = 170 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?Δz = 6 m

L’eau monte dans une conduite qui se rétrécit de 100 mm à 75 mm en s’élevant de 6 m. En section 1, la pression vaut 170 kPa et la vitesse 2,25 m/s. En négligeant les pertes, trouvez la pression p2 en section 2.

d1 = 100 mmd2 = 75 mmp1 = 170 kPav1 = 2,25 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen
V = 2,7 m/sD = 250 mmL = 300 mf = 0,022

De l’eau s’écoule à une vitesse moyenne de 2,7 m/s dans une conduite de 300 m de long et de diamètre intérieur 250 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,022 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement hf.

V = 2,7 m/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile
K = 0,2sortie libreH = ?L = 150 m, D = 250 mm, f = 0,0223× coude (K = 0,3)

Une conduite de 150 m de long et de diamètre intérieur 250 mm (coefficient de frottement de Darcy f = 0,022) part d’un réservoir à l’air libre et débouche à l’air libre en jet. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 3 coudes (K = 0,3 chacun) et une vanne (K = 0,2). Prenez g = 9,81 m/s². De combien H la surface du réservoir doit-elle être au-dessus de la sortie de la conduite pour un débit de 150 L/s ?

Q = 150 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 0,2
H = m
7.Pompes et puissance de pompageMoyen
PQ = 20 L/sH = 16 m

Une pompe de rendement 85 % débite 20 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 16 m. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance sur l’arbre Pshaft nécessaire, en kW.

Q = 20 L/sH = 16 mη = 85%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pompes et puissance de pompageDifficile
250 kPa (relative)PQ = 75 L/sΔz = 35 mL = 150 m, D = 200 mm, f = 0,015, ΣK = 8

Une pompe refoule 75 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 35 m plus haut. La conduite mesure 150 m de long, a un diamètre intérieur de 200 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,015 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 8 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le réservoir supérieur est fermé et l’air au-dessus de l’eau est à une pression relative de 250 kPa. Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.

Q = 75 L/sΔz = 35 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 8ptank = 250 kPa
H = m

3Solutions

1.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 206 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

yc = d + H/2 = 2,5 + 2/2 = 3,5 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
vanned = 2,5 mH = 2 mF

Force résultante

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,5·6 = 206 kN

Réponse

F = 206 kN
2.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 49,44 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

yc = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
vanned = 1,5 mH = 1 mF

Force résultante

F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·2·2 = 49,44 kN

Réponse

F = 49,44 kN
3.Continuité et Bernoulli

Réponse: p2 = 307,2 kPa

Continuité et Bernoulli : pour un fluide incompressible, le débit est le même dans toutes les sections, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Le long d’une ligne de courant sans pertes, p + ½ρv² + ρgz est constant, donc là où le fluide va plus vite ou plus haut, sa pression est plus faible.

Continuité et Bernoulli

Travaillez en Pa, puis divisez par 1000 pour obtenir des kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 1,5·(75/40)² = 5,273 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,5² − 5,273²)/1000 = −12,78 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 320 + (−12,78) = 307,2 kPa

Réponse

p2 = 307,2 kPa
4.Continuité et Bernoulli

Réponse: p2 = 105,7 kPa

Continuité et Bernoulli : pour un fluide incompressible, le débit est le même dans toutes les sections, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Le long d’une ligne de courant sans pertes, p + ½ρv² + ρgz est constant, donc là où le fluide va plus vite ou plus haut, sa pression est plus faible.

Continuité et Bernoulli

Travaillez en Pa, puis divisez par 1000 pour obtenir des kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 2,25·(100/75)² = 4 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2,25² − 4²)/1000 = −5,469 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·6/1000 = 58,86 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 170 + (−5,469) − 58,86 = 105,7 kPa

Réponse

p2 = 105,7 kPa
5.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: hf = 9,809 m

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.

Hauteur cinétique

V²/(2g) = 2,7²/(2·9,81) = 0,3716 m

Darcy–Weisbach

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(300/0,25)·2,7²/(2·9,81) = 9,809 m

Réponse

hf = 9,809 m
6.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: H = 7,52 m

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.

Vitesse

V = Q/A = 0,15/0,04909 = 3,056 m/s
V²/(2g) = 0,4759 m

Coefficients de perte de charge

f·L/D = 0,022·150/0,25 = 13,2
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 0,2 = 1,6

Équation de l’énergie

Le jet de sortie emporte encore sa hauteur cinétique ; ce n’est pas une perte, mais elle doit être fournie.

H = (1 + 13,2 + 1,6)·0,4759 = 7,52 m

Réponse

H = 7,52 m
7.Pompes et puissance de pompage

Réponse: Pshaft = 3,693 kW

Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.

Puissance hydraulique

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·16 = 3,139 kW

Puissance sur l’arbre

Pshaft = Ph/η = 3,139/0,85 = 3,693 kW

Réponse

Pshaft = 3,693 kW
8.Pompes et puissance de pompage

Réponse: H = 66,08 m

Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.

Vitesse

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s
V²/(2g) = 0,2905 m

Pertes de charge

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (11,25 + 8)·0,2905 = 5,592 m

Hauteur de pression

p/(ρ·g) = 250000/(1000·9,81) = 25,48 m

Hauteur manométrique de la pompe

Les deux surfaces sont pratiquement au repos ; il n’y a donc pas de terme de hauteur cinétique.

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 35 + 25,48 + 5,592 = 66,08 m

Réponse

H = 66,08 m

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