Poussée hydrostatique
- Pression à une profondeur
- p = ρgh
- Force sur une paroi verticale
- F = ρg·hc·A
- Centre de poussée
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectangle
- Ic = bH³/12
Mécanique des fluides : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Continuité et Bernoulli
- Continuité
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Débit
- Q = A·v
- Aire du disque
- A = πd²/4
Frottement en conduite et pertes de charge
- Nombre de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régime d’écoulement
- laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
- Vitesse moyenne
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pertes de charge singulières
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valeurs typiques de K
- entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
- Chute de pression
- Δp = ρ·g·hf
- Deux réservoirs à l’air libre
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sortie libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompes et puissance de pompage
- Puissance hydraulique
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Puissance sur l’arbre
- Pshaft = Ph/ηpump
- Puissance électrique
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Hauteur manométrique de la pompe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pertes du réseau
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Exercices
1.Poussée hydrostatiqueMoyen
Une vanne rectangulaire verticale de 1 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 1,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
d = 1,5 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Poussée hydrostatiqueDifficile
Une vanne rectangulaire verticale de 3 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de glycérine, avec son bord supérieur à 2 m sous la surface. Trouvez la profondeur ycp du centre de poussée sous la surface.
d = 2 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuité et BernoulliMoyen
L’eau circule dans une conduite horizontale qui se rétrécit de 100 mm à 50 mm. Dans la partie large, la pression vaut 300 kPa et la vitesse 2 m/s. En négligeant les pertes, trouvez la pression p2 dans la partie étroite.
d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 = 300 kPav1 = 2 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuité et BernoulliDifficile
Un tuyau de 50 mm de diamètre intérieur siphonne l’eau d’un réservoir ouvert. Le point le plus haut C du tuyau est à 1 m au-dessus de la surface de l’eau, et la sortie (à l’air libre) est à 5 m sous la surface de l’eau. Négligez les pertes et prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la pression absolue pC au point C. La pression atmosphérique vaut 101,3 kPa.
d = 50 mmzC = +1 mz2 = −5 mg = 9,81 m/s²patm = 101,3 kPa
pC = kPa
5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen
De l’eau s’écoule avec un débit de 120 L/s dans une conduite de 200 m de long et de diamètre intérieur 300 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,015 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement hf.
Q = 120 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile
Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 500 m de long, de diamètre intérieur 250 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,015. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 4 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 5) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Quelle différence de niveau d’eau Δz entre les réservoirs donne un débit de 120 L/s ?
Q = 120 L/sL = 500 mD = 250 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pompes et puissance de pompageMoyen
Une pompe débite 80 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 80 m. Le rendement de la pompe est de 70 % et le moteur électrique qui l’entraîne a un rendement de 92 %. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance électrique Pel absorbée par le moteur, en kW.
Q = 80 L/sH = 80 mηpump = 70%ηmotor = 92%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Pompes et puissance de pompageDifficile
Une pompe refoule 10 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 8 m plus haut. La conduite mesure 150 m de long, a un diamètre intérieur de 100 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,022 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 8 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le rendement de la pompe est de 72 %. Trouvez la puissance sur l’arbre Pshaft en kW.
Q = 10 L/sΔz = 8 mL = 150 mD = 100 mmf = 0,022ΣK = 8η = 72%
Pshaft = kW
3Solutions
1.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 33,11 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 1,5 + 1,5/2 = 2,25 m
A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,25·1,5 = 33,11 kN
Réponse
F = 33,11 kN
2.Poussée hydrostatique
Réponse: ycp = 2,818 m
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m
A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·2,75·4,5 = 153 kN
Centre de poussée
La pression augmente avec la profondeur, donc la résultante agit sous le centre de gravité.
Ic = b·H³/12 = 3·1,5³/12 = 0,8438 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2,75 + 0,8438/(2,75·4,5) = 2,818 m
Réponse
ycp = 2,818 m
3.Continuité et Bernoulli
Réponse: p2 = 270 kPa
Continuité et Bernoulli : pour un fluide incompressible, le débit est le même dans toutes les sections, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Le long d’une ligne de courant sans pertes, p + ½ρv² + ρgz est constant, donc là où le fluide va plus vite ou plus haut, sa pression est plus faible.
Continuité et Bernoulli
Travaillez en Pa, puis divisez par 1000 pour obtenir des kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 2·(100/50)² = 8 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2² − 8²)/1000 = −30 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 300 + (−30) = 270 kPa
Réponse
p2 = 270 kPa
4.Continuité et Bernoulli
Réponse: pC = 42,44 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Vitesse dans le tuyau
La surface et la sortie sont toutes deux à l’air libre, donc les termes de pression s’annulent.
v = √(2g·5) = √(2·9,81·5) = 9,905 m/s
Bernoulli de la surface à C
patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101,3 − 1000·(9,905²/2 + 9,81·1)/1000 = 101,3 − 58,86 = 42,44 kPa
Réponse
pC = 42,44 kPa
Si cette pression descend jusqu’à la pression de vapeur de l’eau, le siphon cesse de fonctionner.
5.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: hf = 1,469 m
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Vitesse moyenne
A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²
V = Q/A = 0,12/0,07069 = 1,698 m/s
Hauteur cinétique
V²/(2g) = 1,698²/(2·9,81) = 0,1469 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(200/0,3)·1,698²/(2·9,81) = 1,469 m
Réponse
hf = 1,469 m
6.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: Δz = 11,48 m
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Vitesse
V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s
V²/(2g) = 0,3046 m
Coefficients de perte de charge
f·L/D = 0,015·500/0,25 = 30
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7
Perte de charge totale
hf = 30·0,3046 = 9,138 m
hm = 7,7·0,3046 = 2,345 m
Δz = hf + hm = 11,48 m
Réponse
Δz = 11,48 m
7.Pompes et puissance de pompage
Réponse: Pel = 97,49 kW
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Puissance hydraulique
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·80 = 62,78 kW
Puissance sur l’arbre
Pshaft = 62,78/0,7 = 89,69 kW
Puissance électrique
Pel = 89,69/0,92 = 97,49 kW
Réponse
Pel = 97,49 kW
8.Pompes et puissance de pompage
Réponse: Pshaft = 1,552 kW
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Vitesse
V = Q/A = 0,01/0,007854 = 1,273 m/s
V²/(2g) = 0,08263 m
Pertes de charge
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (33 + 8)·0,08263 = 3,388 m
Hauteur manométrique de la pompe
H = Δz + hL = 8 + 3,388 = 11,39 m
Puissance sur l’arbre
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,01·11,39/0,72 = 1,552 kW
Réponse
Pshaft = 1,552 kW
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