Mécanique des fluides : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Poussée hydrostatique

Pression à une profondeur
p = ρgh
Force sur une paroi verticale
F = ρg·hc·A
Centre de poussée
yp = yc + Ic/(ycA)
Rectangle
Ic = bH³/12

Continuité et Bernoulli

Continuité
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Débit
Q = A·v
Aire du disque
A = πd²/4

Frottement en conduite et pertes de charge

Nombre de Reynolds
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régime d’écoulement
laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
Vitesse moyenne
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Pertes de charge singulières
hm = ΣK·V²/(2g)
Valeurs typiques de K
entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
Chute de pression
Δp = ρ·g·hf
Deux réservoirs à l’air libre
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sortie libre
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompes et puissance de pompage

Puissance hydraulique
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Puissance sur l’arbre
Pshaft = Ph/ηpump
Puissance électrique
Pel = Pshaft/ηmotor
Hauteur manométrique de la pompe
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Pertes du réseau
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Exercices

1.Poussée hydrostatiqueMoyen
vanned = 1 mH = 1 m

Une vanne rectangulaire verticale de 2 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 1 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 1 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Poussée hydrostatiqueDifficile
vanned = 1,5 mH = 2,5 m

Une vanne rectangulaire verticale de 1 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de huile, avec son bord supérieur à 1,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 1,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuité et BernoulliMoyen
d1​ = 300 mmd2​ = 150 mm12p1​ − p2​ = 26 kPaQ = ?

De l’eau s’écoule dans un venturimètre horizontal de diamètre d’entrée 300 mm et de diamètre au col 150 mm. La pression à l’entrée dépasse de 26 kPa celle au col. En négligeant les pertes, trouvez le débit Q.

d1 = 300 mmd2 = 150 mmp1 − p2 = 26 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Continuité et BernoulliDifficile
12d1​ = 75 mm, p1​ = 320 kPad2​ = 40 mm, p2​ = ?Δz = 7 m

L’eau monte dans une conduite qui se rétrécit de 75 mm à 40 mm en s’élevant de 7 m. En section 1, la pression vaut 320 kPa et la vitesse 2,25 m/s. En négligeant les pertes, trouvez la pression p2 en section 2.

d1 = 75 mmd2 = 40 mmp1 = 320 kPav1 = 2,25 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen
V = 0,8 m/sD = 100 mmL = 1000 mf = 0,03

De l’eau s’écoule à une vitesse moyenne de 0,8 m/s dans une conduite de 1000 m de long et de diamètre intérieur 100 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,03 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement hf.

V = 0,8 m/sL = 1000 mD = 100 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile
K = 10Δz = ?L = 200 m, D = 250 mm, f = 0,0252× coude (K = 0,3)

Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 200 m de long, de diamètre intérieur 250 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,025. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 2 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 10) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Quelle différence de niveau d’eau Δz entre les réservoirs donne un débit de 100 L/s ?

Q = 100 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,025Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pompes et puissance de pompageMoyen
PQ = 60 L/sH = 42 m

Une pompe de rendement 65 % débite 60 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 42 m. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance sur l’arbre Pshaft nécessaire, en kW.

Q = 60 L/sH = 42 mη = 65%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pompes et puissance de pompageDifficile
PQ = 50 L/sΔz = 18 mL = 150 m, D = 150 mm, f = 0,018, ΣK = 5

Une pompe refoule 50 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 18 m plus haut. La conduite mesure 150 m de long, a un diamètre intérieur de 150 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,018 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 5 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le rendement de la pompe est de 82 %. Trouvez la puissance sur l’arbre Pshaft en kW.

Q = 50 L/sΔz = 18 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,018ΣK = 5η = 82%
Pshaft = kW

3Solutions

1.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 29,43 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

yc = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1,5 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
vanned = 1 mH = 1 mF

Force résultante

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,5·2 = 29,43 kN

Réponse

F = 29,43 kN
2.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 59,35 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

yc = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m
A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²
vanned = 1,5 mH = 2,5 mF

Force résultante

F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·2,75·2,5 = 59,35 kN

Réponse

F = 59,35 kN
3.Continuité et Bernoulli

Réponse: Q = 131,6 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Continuité

v1 = v2·(150/300)² = 0,25·v2

Bernoulli entre l’entrée et le col

La conduite est horizontale, donc seules la pression et la vitesse varient.

p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·26000/(1000·(1 − 0,0625))) = 7,448 m/s
v1 = 1,862 m/s

Débit

Q = A2·v2 = 0,01767·7,448 = 0,1316 m³/s = 131,6 L/s

Réponse

Q = 131,6 L/s
4.Continuité et Bernoulli

Réponse: p2 = 222,6 kPa

Continuité et Bernoulli : pour un fluide incompressible, le débit est le même dans toutes les sections, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Le long d’une ligne de courant sans pertes, p + ½ρv² + ρgz est constant, donc là où le fluide va plus vite ou plus haut, sa pression est plus faible.

Continuité et Bernoulli

Travaillez en Pa, puis divisez par 1000 pour obtenir des kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 2,25·(75/40)² = 7,91 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2,25² − 7,91²)/1000 = −28,75 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·7/1000 = 68,67 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 320 + (−28,75) − 68,67 = 222,6 kPa

Réponse

p2 = 222,6 kPa
5.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: hf = 9,786 m

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.

Hauteur cinétique

V²/(2g) = 0,8²/(2·9,81) = 0,03262 m

Darcy–Weisbach

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(1000/0,1)·0,8²/(2·9,81) = 9,786 m

Réponse

hf = 9,786 m
6.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: Δz = 6,79 m

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.

Vitesse

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s
V²/(2g) = 0,2115 m

Coefficients de perte de charge

f·L/D = 0,025·200/0,25 = 20
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1

Perte de charge totale

hf = 20·0,2115 = 4,23 m
hm = 12,1·0,2115 = 2,559 m
Δz = hf + hm = 6,79 m

Réponse

Δz = 6,79 m
7.Pompes et puissance de pompage

Réponse: Pshaft = 38,03 kW

Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.

Puissance hydraulique

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·42 = 24,72 kW

Puissance sur l’arbre

Pshaft = Ph/η = 24,72/0,65 = 38,03 kW

Réponse

Pshaft = 38,03 kW
8.Pompes et puissance de pompage

Réponse: Pshaft = 16,38 kW

Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.

Vitesse

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m

Pertes de charge

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 5)·0,408 = 9,385 m

Hauteur manométrique de la pompe

H = Δz + hL = 18 + 9,385 = 27,38 m

Puissance sur l’arbre

Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·27,38/0,82 = 16,38 kW

Réponse

Pshaft = 16,38 kW

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