Mécanique des fluides : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Poussée hydrostatique

Pression à une profondeur
p = ρgh
Force sur une paroi verticale
F = ρg·hc·A
Centre de poussée
yp = yc + Ic/(ycA)
Rectangle
Ic = bH³/12

Continuité et Bernoulli

Continuité
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Débit
Q = A·v
Aire du disque
A = πd²/4

Frottement en conduite et pertes de charge

Nombre de Reynolds
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régime d’écoulement
laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
Vitesse moyenne
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Pertes de charge singulières
hm = ΣK·V²/(2g)
Valeurs typiques de K
entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
Chute de pression
Δp = ρ·g·hf
Deux réservoirs à l’air libre
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sortie libre
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompes et puissance de pompage

Puissance hydraulique
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Puissance sur l’arbre
Pshaft = Ph/ηpump
Puissance électrique
Pel = Pshaft/ηmotor
Hauteur manométrique de la pompe
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Pertes du réseau
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Exercices

1.Poussée hydrostatiqueMoyen
vanned = 1,5 mH = 1 m

Une vanne rectangulaire verticale de 2 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 1,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 1,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Poussée hydrostatiqueDifficile
vanned = 2,5 mH = 3 m

Une vanne rectangulaire verticale de 1,5 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau de mer, avec son bord supérieur à 2,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 2,5 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuité et BernoulliMoyen
12d1​ = 75 mm, p1​ = 350 kPad2​ = 25 mm, p2​ = ?

L’eau circule dans une conduite horizontale qui se rétrécit de 75 mm à 25 mm. Dans la partie large, la pression vaut 350 kPa et la vitesse 0,75 m/s. En négligeant les pertes, trouvez la pression p2 dans la partie étroite.

d1 = 75 mmd2 = 25 mmp1 = 350 kPav1 = 0,75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuité et BernoulliDifficile
pair​ = 20 kPav = ?d = 40 mmh = 3 m

Un réservoir d’eau fermé contient de l’air comprimé au-dessus de l’eau à une pression relative de 20 kPa. L’eau sort à l’air libre par un orifice de 40 mm de diamètre, situé 3 m sous la surface de l’eau. En négligeant les pertes, trouvez la vitesse du jet v. Prenez g = 9,81 m/s².

pair = 20 kPa (relative)h = 3 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
v = m/s
5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen
V = 1,2 m/sD = 75 mmL = 50 mf = 0,022

De l’eau s’écoule à une vitesse moyenne de 1,2 m/s dans une conduite de 50 m de long et de diamètre intérieur 75 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,022 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement hf.

V = 1,2 m/sL = 50 mD = 75 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile
K = 10Δz = ?L = 150 m, D = 200 mm, f = 0,0183× coude (K = 0,3)

Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 150 m de long, de diamètre intérieur 200 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,018. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 3 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 10) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Quelle différence de niveau d’eau Δz entre les réservoirs donne un débit de 100 L/s ?

Q = 100 L/sL = 150 mD = 200 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pompes et puissance de pompageMoyen
PQ = 10 L/sH = 48 m

Une pompe débite 10 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 48 m. Le rendement de la pompe est de 78 % et le moteur électrique qui l’entraîne a un rendement de 94 %. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance électrique Pel absorbée par le moteur, en kW.

Q = 10 L/sH = 48 mηpump = 78%ηmotor = 94%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Pompes et puissance de pompageDifficile
250 kPa (relative)PQ = 40 L/sΔz = 31 mL = 200 m, D = 150 mm, f = 0,022, ΣK = 8

Une pompe refoule 40 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 31 m plus haut. La conduite mesure 200 m de long, a un diamètre intérieur de 150 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,022 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 8 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le réservoir supérieur est fermé et l’air au-dessus de l’eau est à une pression relative de 250 kPa. Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.

Q = 40 L/sΔz = 31 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,022ΣK = 8ptank = 250 kPa
H = m

3Solutions

1.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 39,24 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

yc = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
vanned = 1,5 mH = 1 mF

Force résultante

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2·2 = 39,24 kN

Réponse

F = 39,24 kN
2.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 181 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

yc = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m
A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²
vanned = 2,5 mH = 3 mF

Force résultante

F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·4·4,5 = 181 kN

Réponse

F = 181 kN
3.Continuité et Bernoulli

Réponse: p2 = 327,5 kPa

Continuité et Bernoulli : pour un fluide incompressible, le débit est le même dans toutes les sections, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Le long d’une ligne de courant sans pertes, p + ½ρv² + ρgz est constant, donc là où le fluide va plus vite ou plus haut, sa pression est plus faible.

Continuité et Bernoulli

Travaillez en Pa, puis divisez par 1000 pour obtenir des kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 0,75·(75/25)² = 6,75 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,75² − 6,75²)/1000 = −22,5 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 350 + (−22,5) = 327,5 kPa

Réponse

p2 = 327,5 kPa
4.Continuité et Bernoulli

Réponse: v = 9,943 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli de la surface au jet

v = √(2·(20000/1000 + 9,81·3)) = 9,943 m/s

Réponse

v = 9,943 m/s
5.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: hf = 1,076 m

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.

Hauteur cinétique

V²/(2g) = 1,2²/(2·9,81) = 0,07339 m

Darcy–Weisbach

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(50/0,075)·1,2²/(2·9,81) = 1,076 m

Réponse

hf = 1,076 m
6.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: Δz = 13,38 m

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.

Vitesse

V = Q/A = 0,1/0,03142 = 3,183 m/s
V²/(2g) = 0,5164 m

Coefficients de perte de charge

f·L/D = 0,018·150/0,2 = 13,5
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4

Perte de charge totale

hf = 13,5·0,5164 = 6,972 m
hm = 12,4·0,5164 = 6,404 m
Δz = hf + hm = 13,38 m

Réponse

Δz = 13,38 m
7.Pompes et puissance de pompage

Réponse: Pel = 6,422 kW

Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.

Puissance hydraulique

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·48 = 4,709 kW

Puissance sur l’arbre

Pshaft = 4,709/0,78 = 6,037 kW

Puissance électrique

Pel = 6,037/0,94 = 6,422 kW

Réponse

Pel = 6,422 kW
8.Pompes et puissance de pompage

Réponse: H = 66,23 m

Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.

Vitesse

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s
V²/(2g) = 0,2611 m

Pertes de charge

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (29,33 + 8)·0,2611 = 9,749 m

Hauteur de pression

p/(ρ·g) = 250000/(1000·9,81) = 25,48 m

Hauteur manométrique de la pompe

Les deux surfaces sont pratiquement au repos ; il n’y a donc pas de terme de hauteur cinétique.

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 31 + 25,48 + 9,749 = 66,23 m

Réponse

H = 66,23 m

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