Poussée hydrostatique
- Pression à une profondeur
- p = ρgh
- Force sur une paroi verticale
- F = ρg·hc·A
- Centre de poussée
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectangle
- Ic = bH³/12
Mécanique des fluides : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Continuité et Bernoulli
- Continuité
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Débit
- Q = A·v
- Aire du disque
- A = πd²/4
Frottement en conduite et pertes de charge
- Nombre de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régime d’écoulement
- laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
- Vitesse moyenne
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pertes de charge singulières
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valeurs typiques de K
- entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
- Chute de pression
- Δp = ρ·g·hf
- Deux réservoirs à l’air libre
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sortie libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompes et puissance de pompage
- Puissance hydraulique
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Puissance sur l’arbre
- Pshaft = Ph/ηpump
- Puissance électrique
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Hauteur manométrique de la pompe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pertes du réseau
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Exercices
1.Poussée hydrostatiqueMoyen
Une vanne rectangulaire verticale de 2 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 0,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
d = 0,5 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Poussée hydrostatiqueDifficile
Une vanne rectangulaire verticale de 1,5 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 1 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
d = 1 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuité et BernoulliMoyen
De l’eau s’écoule d’un grand réservoir ouvert par un orifice à arête vive de 50 mm de diamètre. Le niveau d’eau est maintenu à 5,5 m au-dessus de l’orifice et le coefficient de débit vaut 0,61. Trouvez le débit Q. Prenez g = 9,81 m/s².
d = 50 mmh = 5,5 mCd = 0,61g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.Continuité et BernoulliDifficile
Un tuyau de 50 mm de diamètre intérieur siphonne l’eau d’un réservoir ouvert. Le point le plus haut C du tuyau est à 2 m au-dessus de la surface de l’eau, et la sortie (à l’air libre) est à 5 m sous la surface de l’eau. Négligez les pertes et prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la pression absolue pC au point C. La pression atmosphérique vaut 101,3 kPa.
d = 50 mmzC = +2 mz2 = −5 mg = 9,81 m/s²patm = 101,3 kPa
pC = kPa
5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen
De l’eau s’écoule à une vitesse moyenne de 1,8 m/s dans une conduite de 200 m de long et de diamètre intérieur 200 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,015 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement hf.
V = 1,8 m/sL = 200 mD = 200 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile
Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 300 m de long, de diamètre intérieur 200 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,018. La surface de l’eau du réservoir supérieur est 15 m plus haut que celle du réservoir inférieur. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 4 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 5) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le débit Q en L/s.
Δz = 15 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompes et puissance de pompageMoyen
Une pompe débite 150 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 38 m. Le rendement de la pompe est de 60 % et le moteur électrique qui l’entraîne a un rendement de 92 %. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance électrique Pel absorbée par le moteur, en kW.
Q = 150 L/sH = 38 mηpump = 60%ηmotor = 92%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Pompes et puissance de pompageDifficile
Une pompe refoule 120 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 19 m plus haut. La conduite mesure 600 m de long, a un diamètre intérieur de 250 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,018 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 8 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le rendement de la pompe est de 70 %. Trouvez la puissance sur l’arbre Pshaft en kW.
Q = 120 L/sΔz = 19 mL = 600 mD = 250 mmf = 0,018ΣK = 8η = 70%
Pshaft = kW
3Solutions
1.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 85,84 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m
A = H·b = 2,5·2 = 5 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,75·5 = 85,84 kN
Réponse
F = 85,84 kN
2.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 110,4 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m
A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,5·4,5 = 110,4 kN
Réponse
F = 110,4 kN
3.Continuité et Bernoulli
Réponse: Q = 12,44 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Vitesse idéale du jet
√(2gh) = √(2·9,81·5,5) = 10,39 m/s
Débit réel
Le coefficient de débit tient compte de la contraction du jet et du frottement sur l’arête.
Q = Cd·A·√(2gh) = 0,61·0,001963·10,39 = 0,01244 m³/s = 12,44 L/s
Réponse
Q = 12,44 L/s
4.Continuité et Bernoulli
Réponse: pC = 32,63 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Vitesse dans le tuyau
La surface et la sortie sont toutes deux à l’air libre, donc les termes de pression s’annulent.
v = √(2g·5) = √(2·9,81·5) = 9,905 m/s
Bernoulli de la surface à C
patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101,3 − 1000·(9,905²/2 + 9,81·2)/1000 = 101,3 − 68,67 = 32,63 kPa
Réponse
pC = 32,63 kPa
Si cette pression descend jusqu’à la pression de vapeur de l’eau, le siphon cesse de fonctionner.
5.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: hf = 2,477 m
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Hauteur cinétique
V²/(2g) = 1,8²/(2·9,81) = 0,1651 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(200/0,2)·1,8²/(2·9,81) = 2,477 m
Réponse
hf = 2,477 m
6.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: Q = 91,49 L/s
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Coefficients de perte de charge
f·L/D = 0,018·300/0,2 = 27
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7
Équation de l’énergie
Les deux surfaces sont à l’air libre et pratiquement au repos ; tout Δz est donc perdu dans la conduite.
15 = (27 + 7,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·15/34,7) = 2,912 m/s
Débit
Q = V·π·D²/4 = 2,912·0,03142 = 0,09149 m³/s = 91,49 L/s
Réponse
Q = 91,49 L/s
7.Pompes et puissance de pompage
Réponse: Pel = 101,3 kW
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Puissance hydraulique
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·38 = 55,92 kW
Puissance sur l’arbre
Pshaft = 55,92/0,6 = 93,2 kW
Puissance électrique
Pel = 93,2/0,92 = 101,3 kW
Réponse
Pel = 101,3 kW
8.Pompes et puissance de pompage
Réponse: Pshaft = 58,18 kW
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Vitesse
V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s
V²/(2g) = 0,3046 m
Pertes de charge
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (43,2 + 8)·0,3046 = 15,6 m
Hauteur manométrique de la pompe
H = Δz + hL = 19 + 15,6 = 34,6 m
Puissance sur l’arbre
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,12·34,6/0,7 = 58,18 kW
Réponse
Pshaft = 58,18 kW
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