Mécanique des fluides : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Poussée hydrostatique

Pression à une profondeur: p = ρgh
Force sur une paroi verticale: F = ρg·h_c·A
Centre de poussée: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectangle: I_c = bH³/12

Continuité et Bernoulli

Continuité: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Débit: Q = A·v
Aire du disque: A = πd²/4

Frottement en conduite et pertes de charge

Nombre de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régime d’écoulement: laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
Vitesse moyenne: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pertes de charge singulières: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valeurs typiques de K: entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
Chute de pression: Δp = ρ·g·h_f
Deux réservoirs à l’air libre: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sortie libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompes et puissance de pompage

Puissance hydraulique: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Puissance sur l’arbre: P_shaft = P_h/η_pump
Puissance électrique: P_el = P_shaft/η_motor
Hauteur manométrique de la pompe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pertes du réseau: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Exercices

1.Poussée hydrostatiqueMoyen

Une vanne rectangulaire verticale de 2 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 1 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 1 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Poussée hydrostatiqueDifficile

Une vanne rectangulaire verticale de 1,5 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 3 m sous la surface. Trouvez la profondeur y_cp du centre de poussée sous la surface.

d = 3 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuité et BernoulliMoyen

Un tube de Pitot statique dans une conduite d’eau indique une différence de 30 kPa entre la pression d’arrêt et la pression statique. Trouvez la vitesse de l’eau v à l’extrémité du tube.

p₀ − p = 30 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

4.Continuité et BernoulliDifficile

Un tuyau de 20 mm de diamètre intérieur siphonne l’eau d’un réservoir ouvert. Le point le plus haut C du tuyau est à 2,5 m au-dessus de la surface de l’eau, et la sortie (à l’air libre) est à 3,5 m sous la surface de l’eau. Négligez les pertes et prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le débit Q.

d = 20 mmz_C = +2,5 mz₂ = −3,5 mg = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen

De l’eau s’écoule avec un débit de 4 L/s dans une conduite de 500 m de long et de diamètre intérieur 50 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,02 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement h_f.

Q = 4 L/sL = 500 mD = 50 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile

Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 100 m de long, de diamètre intérieur 300 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,02. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 4 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 5) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Quelle différence de niveau d’eau Δz entre les réservoirs donne un débit de 200 L/s ?

Q = 200 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompes et puissance de pompageMoyen

Une pompe débite 40 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 62 m. Le rendement de la pompe est de 80 % et le moteur électrique qui l’entraîne a un rendement de 92 %. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance électrique P_el absorbée par le moteur, en kW.

Q = 40 L/sH = 62 mη_pump = 80%η_motor = 92%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompes et puissance de pompageDifficile

Une pompe refoule 40 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 9 m plus haut. La conduite mesure 150 m de long, a un diamètre intérieur de 150 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,02 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 6 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le réservoir supérieur est fermé et l’air au-dessus de l’eau est à une pression relative de 100 kPa. Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.

Q = 40 L/sΔz = 9 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 6p_tank = 100 kPa

H = m

3Solutions

1.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 78,48 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·4 = 78,48 kN

Réponse

F = 78,48 kN

2.Poussée hydrostatique

Réponse: y_cp = 4,373 m

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,25·3,75 = 156,3 kN

Centre de poussée

La pression augmente avec la profondeur, donc la résultante agit sous le centre de gravité.

I_c = b·H³/12 = 1,5·2,5³/12 = 1,953 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4,25 + 1,953/(4,25·3,75) = 4,373 m

Réponse

y_cp = 4,373 m

3.Continuité et Bernoulli

Réponse: v = 7,746 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli jusqu’au point d’arrêt

L’écoulement s’arrête à l’extrémité du tube, donc son énergie cinétique apparaît sous forme de surpression.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·30000/1000) = 7,746 m/s

Réponse

v = 7,746 m/s

4.Continuité et Bernoulli

Réponse: Q = 2,603 L/s

Vitesse dans le tuyau

La surface et la sortie sont toutes deux à l’air libre, donc les termes de pression s’annulent.

v = √(2g·3,5) = √(2·9,81·3,5) = 8,287 m/s

Débit

Q = A·v = 0,0003142·8,287 = 0,002603 m³/s = 2,603 L/s

Réponse

Q = 2,603 L/s

5.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: h_f = 42,3 m

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières h_m = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = h_f + h_m, perte de sortie K = 1 comprise.

Vitesse moyenne

A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²

V = Q/A = 0,004/0,001963 = 2,037 m/s

Hauteur cinétique

V²/(2g) = 2,037²/(2·9,81) = 0,2115 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(500/0,05)·2,037²/(2·9,81) = 42,3 m

Réponse

h_f = 42,3 m

6.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: Δz = 5,862 m

Vitesse

V = Q/A = 0,2/0,07069 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Coefficients de perte de charge

f·L/D = 0,02·100/0,3 = 6,667

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Perte de charge totale

h_f = 6,667·0,408 = 2,72 m

h_m = 7,7·0,408 = 3,142 m

Δz = h_f + h_m = 5,862 m

Réponse

Δz = 5,862 m

7.Pompes et puissance de pompage

Réponse: P_el = 33,06 kW

Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : P_shaft = P_h/η_pump, et le moteur absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.

Puissance hydraulique

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·62 = 24,33 kW

Puissance sur l’arbre

P_shaft = 24,33/0,8 = 30,41 kW

Puissance électrique

P_el = 30,41/0,92 = 33,06 kW

Réponse

P_el = 33,06 kW

8.Pompes et puissance de pompage

Réponse: H = 25,98 m

Vitesse

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Pertes de charge

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 6)·0,2611 = 6,79 m

Hauteur de pression

p/(ρ·g) = 100000/(1000·9,81) = 10,19 m

Hauteur manométrique de la pompe

Les deux surfaces sont pratiquement au repos ; il n’y a donc pas de terme de hauteur cinétique.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 9 + 10,19 + 6,79 = 25,98 m

Réponse

H = 25,98 m

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