Poussée hydrostatique
- Pression à une profondeur
- p = ρgh
- Force sur une paroi verticale
- F = ρg·hc·A
- Centre de poussée
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectangle
- Ic = bH³/12
Mécanique des fluides : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Continuité et Bernoulli
- Continuité
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Débit
- Q = A·v
- Aire du disque
- A = πd²/4
Frottement en conduite et pertes de charge
- Nombre de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régime d’écoulement
- laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
- Vitesse moyenne
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pertes de charge singulières
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valeurs typiques de K
- entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
- Chute de pression
- Δp = ρ·g·hf
- Deux réservoirs à l’air libre
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sortie libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompes et puissance de pompage
- Puissance hydraulique
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Puissance sur l’arbre
- Pshaft = Ph/ηpump
- Puissance électrique
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Hauteur manométrique de la pompe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pertes du réseau
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Exercices
1.Poussée hydrostatiqueMoyen
Une vanne rectangulaire verticale de 3 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 1 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
d = 1 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Poussée hydrostatiqueDifficile
Une vanne rectangulaire verticale de 3 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 1,5 m sous la surface. Trouvez la profondeur ycp du centre de poussée sous la surface.
d = 1,5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuité et BernoulliMoyen
L’eau circule dans une conduite horizontale qui se rétrécit de 100 mm à 40 mm. Dans la partie large, la pression vaut 180 kPa et la vitesse 1,75 m/s. En négligeant les pertes, trouvez la pression p2 dans la partie étroite.
d1 = 100 mmd2 = 40 mmp1 = 180 kPav1 = 1,75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuité et BernoulliDifficile
La buse d’une fontaine est dirigée verticalement vers le haut. Juste sous la buse, la conduite d’alimentation a un diamètre de 100 mm et une pression relative de 50 kPa. Le diamètre de sortie de la buse est de 30 mm et la différence de hauteur à travers la buse est négligeable. En négligeant les pertes et la résistance de l’air, trouvez la hauteur H à laquelle le jet s’élève au-dessus de la buse. Prenez g = 9,81 m/s².
d1 = 100 mmp1 = 50 kPa (relative)d2 = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
H = m
5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen
De l’eau s’écoule avec un débit de 12 L/s dans une conduite de 1000 m de long et de diamètre intérieur 150 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,028 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement hf.
Q = 12 L/sL = 1000 mD = 150 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile
Une conduite de 300 m de long et de diamètre intérieur 150 mm (coefficient de frottement de Darcy f = 0,015) part d’un réservoir à l’air libre et débouche à l’air libre en jet. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 2 coudes (K = 0,3 chacun) et une vanne (K = 5). Prenez g = 9,81 m/s². De combien H la surface du réservoir doit-elle être au-dessus de la sortie de la conduite pour un débit de 60 L/s ?
Q = 60 L/sL = 300 mD = 150 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 5
H = m
7.Pompes et puissance de pompageMoyen
Une pompe débite 50 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 80 m. Le rendement de la pompe est de 65 % et le moteur électrique qui l’entraîne a un rendement de 88 %. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance électrique Pel absorbée par le moteur, en kW.
Q = 50 L/sH = 80 mηpump = 65%ηmotor = 88%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Pompes et puissance de pompageDifficile
Une pompe refoule 100 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 13 m plus haut. La conduite mesure 150 m de long, a un diamètre intérieur de 250 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,022 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 5 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le réservoir supérieur est fermé et l’air au-dessus de l’eau est à une pression relative de 400 kPa. Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.
Q = 100 L/sΔz = 13 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,022ΣK = 5ptank = 400 kPa
H = m
3Solutions
1.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 77,25 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m
A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,75·4,5 = 77,25 kN
Réponse
F = 77,25 kN
2.Poussée hydrostatique
Réponse: ycp = 2,633 m
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,5·6 = 147,2 kN
Centre de poussée
La pression augmente avec la profondeur, donc la résultante agit sous le centre de gravité.
Ic = b·H³/12 = 3·2³/12 = 2 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2,5 + 2/(2,5·6) = 2,633 m
Réponse
ycp = 2,633 m
3.Continuité et Bernoulli
Réponse: p2 = 121,7 kPa
Continuité et Bernoulli : pour un fluide incompressible, le débit est le même dans toutes les sections, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Le long d’une ligne de courant sans pertes, p + ½ρv² + ρgz est constant, donc là où le fluide va plus vite ou plus haut, sa pression est plus faible.
Continuité et Bernoulli
Travaillez en Pa, puis divisez par 1000 pour obtenir des kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,75·(100/40)² = 10,94 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,75² − 10,94²)/1000 = −58,28 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 180 + (−58,28) = 121,7 kPa
Réponse
p2 = 121,7 kPa
4.Continuité et Bernoulli
Réponse: H = 5,138 m
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Vitesse de sortie
β = 30/100 = 0,3
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·50000/(1000·0,9919)) = 10,04 m/s
Hauteur du jet
Bernoulli le long du jet : au sommet, la vitesse est nulle et la pression est de nouveau atmosphérique.
H = v2²/(2g) = 10,04²/(2·9,81) = 5,138 m
Réponse
H = 5,138 m
5.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: hf = 4,387 m
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Vitesse moyenne
A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²
V = Q/A = 0,012/0,01767 = 0,6791 m/s
Hauteur cinétique
V²/(2g) = 0,6791²/(2·9,81) = 0,0235 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(1000/0,15)·0,6791²/(2·9,81) = 4,387 m
Réponse
hf = 4,387 m
6.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: H = 21,8 m
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Vitesse
V = Q/A = 0,06/0,01767 = 3,395 m/s
V²/(2g) = 0,5876 m
Coefficients de perte de charge
f·L/D = 0,015·300/0,15 = 30
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 = 6,1
Équation de l’énergie
Le jet de sortie emporte encore sa hauteur cinétique ; ce n’est pas une perte, mais elle doit être fournie.
H = (1 + 30 + 6,1)·0,5876 = 21,8 m
Réponse
H = 21,8 m
7.Pompes et puissance de pompage
Réponse: Pel = 68,6 kW
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Puissance hydraulique
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·80 = 39,24 kW
Puissance sur l’arbre
Pshaft = 39,24/0,65 = 60,37 kW
Puissance électrique
Pel = 60,37/0,88 = 68,6 kW
Réponse
Pel = 68,6 kW
8.Pompes et puissance de pompage
Réponse: H = 57,62 m
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Vitesse
V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s
V²/(2g) = 0,2115 m
Pertes de charge
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (13,2 + 5)·0,2115 = 3,85 m
Hauteur de pression
p/(ρ·g) = 400000/(1000·9,81) = 40,77 m
Hauteur manométrique de la pompe
Les deux surfaces sont pratiquement au repos ; il n’y a donc pas de terme de hauteur cinétique.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 13 + 40,77 + 3,85 = 57,62 m
Réponse
H = 57,62 m
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