Poussée hydrostatique
- Pression à une profondeur
- p = ρgh
- Force sur une paroi verticale
- F = ρg·hc·A
- Centre de poussée
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectangle
- Ic = bH³/12
Mécanique des fluides : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Continuité et Bernoulli
- Continuité
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Débit
- Q = A·v
- Aire du disque
- A = πd²/4
Frottement en conduite et pertes de charge
- Nombre de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régime d’écoulement
- laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
- Vitesse moyenne
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pertes de charge singulières
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valeurs typiques de K
- entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
- Chute de pression
- Δp = ρ·g·hf
- Deux réservoirs à l’air libre
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sortie libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompes et puissance de pompage
- Puissance hydraulique
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Puissance sur l’arbre
- Pshaft = Ph/ηpump
- Puissance électrique
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Hauteur manométrique de la pompe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pertes du réseau
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Exercices
1.Poussée hydrostatiqueMoyen
Une vanne rectangulaire verticale de 2 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 3 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
d = 3 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Poussée hydrostatiqueDifficile
Une vanne rectangulaire verticale de 3 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau de mer, avec son bord supérieur à 1,5 m sous la surface. Trouvez la profondeur ycp du centre de poussée sous la surface.
d = 1,5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuité et BernoulliMoyen
De l’eau s’écoule d’un grand réservoir ouvert par un orifice à arête vive de 30 mm de diamètre. Le niveau d’eau est maintenu à 5,5 m au-dessus de l’orifice et le coefficient de débit vaut 0,63. Trouvez le débit Q. Prenez g = 9,81 m/s².
d = 30 mmh = 5,5 mCd = 0,63g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.Continuité et BernoulliDifficile
Un tuyau de 40 mm de diamètre intérieur siphonne l’eau d’un réservoir ouvert. Le point le plus haut C du tuyau est à 2 m au-dessus de la surface de l’eau, et la sortie (à l’air libre) est à 3 m sous la surface de l’eau. Négligez les pertes et prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le débit Q.
d = 40 mmzC = +2 mz2 = −3 mg = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen
De l’eau (ρ = 1000 kg/m³) s’écoule à 2,3 m/s dans une conduite horizontale de 50 m de long et de diamètre intérieur 250 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,018 et g = 9,81 m/s². Trouvez la chute de pression Δp le long de la conduite, en kPa.
V = 2,3 m/sL = 50 mD = 250 mmf = 0,018ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile
Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 100 m de long, de diamètre intérieur 100 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,022. La surface de l’eau du réservoir supérieur est 32 m plus haut que celle du réservoir inférieur. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 4 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 5) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le débit Q en L/s.
Δz = 32 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompes et puissance de pompageMoyen
Une pompe de rendement 70 % débite 30 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 18 m. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance sur l’arbre Pshaft nécessaire, en kW.
Q = 30 L/sH = 18 mη = 70%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pompes et puissance de pompageDifficile
Une pompe refoule 20 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 15 m plus haut. La conduite mesure 500 m de long, a un diamètre intérieur de 100 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,015 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 8 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le réservoir supérieur est fermé et l’air au-dessus de l’eau est à une pression relative de 200 kPa. Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.
Q = 20 L/sΔz = 15 mL = 500 mD = 100 mmf = 0,015ΣK = 8ptank = 200 kPa
H = m
3Solutions
1.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 208,5 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m
A = H·b = 2,5·2 = 5 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,25·5 = 208,5 kN
Réponse
F = 208,5 kN
2.Poussée hydrostatique
Réponse: ycp = 3,25 m
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·3·9 = 271,5 kN
Centre de poussée
La pression augmente avec la profondeur, donc la résultante agit sous le centre de gravité.
Ic = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6,75 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3 + 6,75/(3·9) = 3,25 m
Réponse
ycp = 3,25 m
3.Continuité et Bernoulli
Réponse: Q = 4,626 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Vitesse idéale du jet
√(2gh) = √(2·9,81·5,5) = 10,39 m/s
Débit réel
Le coefficient de débit tient compte de la contraction du jet et du frottement sur l’arête.
Q = Cd·A·√(2gh) = 0,63·0,0007069·10,39 = 0,004626 m³/s = 4,626 L/s
Réponse
Q = 4,626 L/s
4.Continuité et Bernoulli
Réponse: Q = 9,641 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Vitesse dans le tuyau
La surface et la sortie sont toutes deux à l’air libre, donc les termes de pression s’annulent.
v = √(2g·3) = √(2·9,81·3) = 7,672 m/s
Débit
Q = A·v = 0,001257·7,672 = 0,009641 m³/s = 9,641 L/s
Réponse
Q = 9,641 L/s
5.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: Δp = 9,522 kPa
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Perte de charge
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(50/0,25)·2,3²/(2·9,81) = 0,9706 m
Chute de pression
La conduite est horizontale et la vitesse ne change pas ; l’équation de l’énergie se réduit donc à Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·0,9706 = 9522 Pa = 9,522 kPa
Réponse
Δp = 9,522 kPa
6.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: Q = 36,11 L/s
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Coefficients de perte de charge
f·L/D = 0,022·100/0,1 = 22
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7
Équation de l’énergie
Les deux surfaces sont à l’air libre et pratiquement au repos ; tout Δz est donc perdu dans la conduite.
32 = (22 + 7,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·32/29,7) = 4,598 m/s
Débit
Q = V·π·D²/4 = 4,598·0,007854 = 0,03611 m³/s = 36,11 L/s
Réponse
Q = 36,11 L/s
7.Pompes et puissance de pompage
Réponse: Pshaft = 7,568 kW
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Puissance hydraulique
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·18 = 5,297 kW
Puissance sur l’arbre
Pshaft = Ph/η = 5,297/0,7 = 7,568 kW
Réponse
Pshaft = 7,568 kW
8.Pompes et puissance de pompage
Réponse: H = 62,82 m
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Vitesse
V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m
Pertes de charge
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (75 + 8)·0,3305 = 27,43 m
Hauteur de pression
p/(ρ·g) = 200000/(1000·9,81) = 20,39 m
Hauteur manométrique de la pompe
Les deux surfaces sont pratiquement au repos ; il n’y a donc pas de terme de hauteur cinétique.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 15 + 20,39 + 27,43 = 62,82 m
Réponse
H = 62,82 m
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