Mécanique des fluides : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Poussée hydrostatique

Pression à une profondeur
p = ρgh
Force sur une paroi verticale
F = ρg·hc·A
Centre de poussée
yp = yc + Ic/(ycA)
Rectangle
Ic = bH³/12

Continuité et Bernoulli

Continuité
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Débit
Q = A·v
Aire du disque
A = πd²/4

Frottement en conduite et pertes de charge

Nombre de Reynolds
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régime d’écoulement
laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
Vitesse moyenne
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Pertes de charge singulières
hm = ΣK·V²/(2g)
Valeurs typiques de K
entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
Chute de pression
Δp = ρ·g·hf
Deux réservoirs à l’air libre
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sortie libre
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompes et puissance de pompage

Puissance hydraulique
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Puissance sur l’arbre
Pshaft = Ph/ηpump
Puissance électrique
Pel = Pshaft/ηmotor
Hauteur manométrique de la pompe
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Pertes du réseau
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Exercices

1.Poussée hydrostatiqueMoyen
vanned = 2 mH = 1 m

Une vanne rectangulaire verticale de 1 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 2 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 2 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Poussée hydrostatiqueDifficile
vanned = 4 mH = 3 m

Une vanne rectangulaire verticale de 1,5 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de glycérine, avec son bord supérieur à 4 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 4 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuité et BernoulliMoyen
v = ?p0​pp0​ − p = 37 kPapoint d’arrêt

Un tube de Pitot statique dans une conduite d’eau indique une différence de 37 kPa entre la pression d’arrêt et la pression statique. Trouvez la vitesse de l’eau v à l’extrémité du tube.

p0 − p = 37 kPaρ = 1000 kg/m³
v = m/s
4.Continuité et BernoulliDifficile
12d1​ = 100 mm, p1​ = 190 kPad2​ = 25 mm, p2​ = ?Δz = 8 m

L’eau monte dans une conduite qui se rétrécit de 100 mm à 25 mm en s’élevant de 8 m. En section 1, la pression vaut 190 kPa et la vitesse 0,75 m/s. En négligeant les pertes, trouvez la pression p2 en section 2.

d1 = 100 mmd2 = 25 mmp1 = 190 kPav1 = 0,75 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen
V = 1 m/sD = 250 mmL = 400 mf = 0,028

De l’eau (ρ = 1000 kg/m³) s’écoule à 1 m/s dans une conduite horizontale de 400 m de long et de diamètre intérieur 250 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,028 et g = 9,81 m/s². Trouvez la chute de pression Δp le long de la conduite, en kPa.

V = 1 m/sL = 400 mD = 250 mmf = 0,028ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile
K = 5Δz = ?L = 100 m, D = 300 mm, f = 0,0254× coude (K = 0,3)

Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 100 m de long, de diamètre intérieur 300 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,025. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 4 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 5) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Quelle différence de niveau d’eau Δz entre les réservoirs donne un débit de 120 L/s ?

Q = 120 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,025Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pompes et puissance de pompageMoyen
PQ = 15 L/sH = 10 m

Une pompe débite 15 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 10 m. Le rendement de la pompe est de 82 % et le moteur électrique qui l’entraîne a un rendement de 94 %. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance électrique Pel absorbée par le moteur, en kW.

Q = 15 L/sH = 10 mηpump = 82%ηmotor = 94%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Pompes et puissance de pompageDifficile
PQ = 15 L/sΔz = 8 mL = 300 m, D = 100 mm, f = 0,022, ΣK = 8

Une pompe refoule 15 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 8 m plus haut. La conduite mesure 300 m de long, a un diamètre intérieur de 100 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,022 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 8 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.

Q = 15 L/sΔz = 8 mL = 300 mD = 100 mmf = 0,022ΣK = 8
H = m

3Solutions

1.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 24,52 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

yc = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
vanned = 2 mH = 1 mF

Force résultante

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,5·1 = 24,52 kN

Réponse

F = 24,52 kN
2.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 305,9 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

yc = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m
A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²
vanned = 4 mH = 3 mF

Force résultante

F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·5,5·4,5 = 305,9 kN

Réponse

F = 305,9 kN
3.Continuité et Bernoulli

Réponse: v = 8,602 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli jusqu’au point d’arrêt

L’écoulement s’arrête à l’extrémité du tube, donc son énergie cinétique apparaît sous forme de surpression.

p0 − p = ½ρv²
v = √(2·37000/1000) = 8,602 m/s

Réponse

v = 8,602 m/s
4.Continuité et Bernoulli

Réponse: p2 = 39,8 kPa

Continuité et Bernoulli : pour un fluide incompressible, le débit est le même dans toutes les sections, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Le long d’une ligne de courant sans pertes, p + ½ρv² + ρgz est constant, donc là où le fluide va plus vite ou plus haut, sa pression est plus faible.

Continuité et Bernoulli

Travaillez en Pa, puis divisez par 1000 pour obtenir des kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 0,75·(100/25)² = 12 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,75² − 12²)/1000 = −71,72 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·8/1000 = 78,48 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 190 + (−71,72) − 78,48 = 39,8 kPa

Réponse

p2 = 39,8 kPa
5.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: Δp = 22,4 kPa

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.

Perte de charge

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(400/0,25)·1²/(2·9,81) = 2,283 m

Chute de pression

La conduite est horizontale et la vitesse ne change pas ; l’équation de l’énergie se réduit donc à Δp = ρ·g·hf.

Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·2,283 = 22400 Pa = 22,4 kPa

Réponse

Δp = 22,4 kPa
6.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: Δz = 2,355 m

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.

Vitesse

V = Q/A = 0,12/0,07069 = 1,698 m/s
V²/(2g) = 0,1469 m

Coefficients de perte de charge

f·L/D = 0,025·100/0,3 = 8,333
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Perte de charge totale

hf = 8,333·0,1469 = 1,224 m
hm = 7,7·0,1469 = 1,131 m
Δz = hf + hm = 2,355 m

Réponse

Δz = 2,355 m
7.Pompes et puissance de pompage

Réponse: Pel = 1,909 kW

Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.

Puissance hydraulique

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·10 = 1,472 kW

Puissance sur l’arbre

Pshaft = 1,472/0,82 = 1,795 kW

Puissance électrique

Pel = 1,795/0,94 = 1,909 kW

Réponse

Pel = 1,909 kW
8.Pompes et puissance de pompage

Réponse: H = 21,76 m

Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.

Vitesse

V = Q/A = 0,015/0,007854 = 1,91 m/s
V²/(2g) = 0,1859 m

Pertes de charge

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (66 + 8)·0,1859 = 13,76 m

Hauteur manométrique de la pompe

Les deux surfaces sont à l’air libre et pratiquement au repos ; les termes de pression et de vitesse disparaissent donc.

H = Δz + hL = 8 + 13,76 = 21,76 m

Réponse

H = 21,76 m

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