Mécanique des fluides : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Poussée hydrostatique

Pression à une profondeur: p = ρgh
Force sur une paroi verticale: F = ρg·h_c·A
Centre de poussée: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectangle: I_c = bH³/12

Continuité et Bernoulli

Continuité: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Débit: Q = A·v
Aire du disque: A = πd²/4

Frottement en conduite et pertes de charge

Nombre de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régime d’écoulement: laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
Vitesse moyenne: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pertes de charge singulières: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valeurs typiques de K: entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
Chute de pression: Δp = ρ·g·h_f
Deux réservoirs à l’air libre: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sortie libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompes et puissance de pompage

Puissance hydraulique: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Puissance sur l’arbre: P_shaft = P_h/η_pump
Puissance électrique: P_el = P_shaft/η_motor
Hauteur manométrique de la pompe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pertes du réseau: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Exercices

1.Poussée hydrostatiqueMoyen

Une vanne rectangulaire verticale de 3 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 2,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 2,5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Poussée hydrostatiqueDifficile

Une vanne rectangulaire verticale de 1,5 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de huile, avec son bord supérieur à 2,5 m sous la surface. Trouvez la profondeur y_cp du centre de poussée sous la surface.

d = 2,5 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuité et BernoulliMoyen

De l’eau s’écoule à 36 L/s dans une conduite horizontale qui se rétrécit de 150 mm à 100 mm. La pression dans la partie étroite vaut 280 kPa. En négligeant les pertes, trouvez la pression p₁ dans la partie large.

Q = 36 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₂ = 280 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuité et BernoulliDifficile

Un réservoir d’eau fermé contient de l’air comprimé au-dessus de l’eau à une pression relative de 20 kPa. L’eau sort à l’air libre par un orifice de 25 mm de diamètre, situé 2 m sous la surface de l’eau. En négligeant les pertes, trouvez la vitesse du jet v. Prenez g = 9,81 m/s².

p_air = 20 kPa (relative)h = 2 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

v = m/s

5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen

De l’eau s’écoule avec un débit de 60 L/s dans une conduite de 800 m de long et de diamètre intérieur 250 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,018 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement h_f.

Q = 60 L/sL = 800 mD = 250 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile

Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 200 m de long, de diamètre intérieur 250 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,018. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 3 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 2) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Quelle différence de niveau d’eau Δz entre les réservoirs donne un débit de 120 L/s ?

Q = 120 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompes et puissance de pompageMoyen

Une pompe de rendement 85 % débite 30 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 54 m. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance sur l’arbre P_shaft nécessaire, en kW.

Q = 30 L/sH = 54 mη = 85%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompes et puissance de pompageDifficile

Une pompe refoule 100 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 22 m plus haut. La conduite mesure 500 m de long, a un diamètre intérieur de 250 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,018 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 8 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le réservoir supérieur est fermé et l’air au-dessus de l’eau est à une pression relative de 200 kPa. Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.

Q = 100 L/sΔz = 22 mL = 500 mD = 250 mmf = 0,018ΣK = 8p_tank = 200 kPa

H = m

3Solutions

1.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 88,29 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·3 = 88,29 kN

Réponse

F = 88,29 kN

2.Poussée hydrostatique

Réponse: y_cp = 4,188 m

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·4·4,5 = 155,4 kN

Centre de poussée

La pression augmente avec la profondeur, donc la résultante agit sous le centre de gravité.

I_c = b·H³/12 = 1,5·3³/12 = 3,375 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4 + 3,375/(4·4,5) = 4,188 m

Réponse

y_cp = 4,188 m

3.Continuité et Bernoulli

Réponse: p₁ = 288,4 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Vitesses

v₁ = Q/A₁ = 0,036/0,01767 = 2,037 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,036/0,007854 = 4,584 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 280 + ½·1000·(4,584² − 2,037²)/1000 = 280 + 8,43 = 288,4 kPa

Réponse

p₁ = 288,4 kPa

4.Continuité et Bernoulli

Réponse: v = 8,902 m/s

Bernoulli de la surface au jet

v = √(2·(20000/1000 + 9,81·2)) = 8,902 m/s

Réponse

v = 8,902 m/s

5.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: h_f = 4,386 m

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières h_m = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = h_f + h_m, perte de sortie K = 1 comprise.

Vitesse moyenne

A = π·0,25²/4 = 0,04909 m²

V = Q/A = 0,06/0,04909 = 1,222 m/s

Hauteur cinétique

V²/(2g) = 1,222²/(2·9,81) = 0,07615 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(800/0,25)·1,222²/(2·9,81) = 4,386 m

Réponse

h_f = 4,386 m

6.Frottement en conduite et pertes de charge

Réponse: Δz = 5,726 m

Vitesse

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Coefficients de perte de charge

f·L/D = 0,018·200/0,25 = 14,4

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

Perte de charge totale

h_f = 14,4·0,3046 = 4,386 m

h_m = 4,4·0,3046 = 1,34 m

Δz = h_f + h_m = 5,726 m

Réponse

Δz = 5,726 m

7.Pompes et puissance de pompage

Réponse: P_shaft = 18,7 kW

Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : P_shaft = P_h/η_pump, et le moteur absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.

Puissance hydraulique

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·54 = 15,89 kW

Puissance sur l’arbre

P_shaft = P_h/η = 15,89/0,85 = 18,7 kW

Réponse

P_shaft = 18,7 kW

8.Pompes et puissance de pompage

Réponse: H = 51,69 m

Vitesse

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Pertes de charge

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (36 + 8)·0,2115 = 9,307 m

Hauteur de pression

p/(ρ·g) = 200000/(1000·9,81) = 20,39 m

Hauteur manométrique de la pompe

Les deux surfaces sont pratiquement au repos ; il n’y a donc pas de terme de hauteur cinétique.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 22 + 20,39 + 9,307 = 51,69 m

Réponse

H = 51,69 m

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