Géotechnique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte effective dans les sols

Contrainte totale: σ = Σγ_i·h_i
Pression interstitielle: u = γ_w·(z − z_w)
Contrainte effective: σ′ = σ − u
Eau: γ_w = 9,81 kN/m³

Tassement de consolidation

Normalement consolidé: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Contrainte finale: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Surconsolidé, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Surconsolidé, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Rapport de surconsolidation: OCR = σ′_p/σ′₀
Temps de consolidation: t = T_v·H_dr²/c_v
Chemin de drainage: H_dr = H/2 (double drainage), H (drainage simple)
Facteurs temps: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Poussée hydrostatique

Pression à une profondeur: p = ρgh
Force sur une paroi verticale: F = ρg·h_c·A
Centre de poussée: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectangle: I_c = bH³/12

2Exercices

1.Contrainte effective dans les solsMoyen

Pour le profil de sol représenté, trouvez la contrainte effective verticale σ′ au point X.

z = 2 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³sable: γ_d = 15,5 kN/m³sable: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

2.Contrainte effective dans les solsDifficile

Pour le profil de sol représenté, trouvez la pression interstitielle u au point X.

z = 6,5 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³sable: γ_d = 16,5 kN/m³sable: γ_sat = 19 kN/m³argile: γ_sat = 17,5 kN/m³

u = kPa

3.Tassement de consolidationMoyen

Une couche d’argile surconsolidée de 2,5 m d’épaisseur a C_c = 0,35, C_r = 0,02 et e₀ = 1. À mi-épaisseur, la contrainte verticale effective vaut 75 kPa et la pression de préconsolidation vaut 185 kPa. Un nouveau bâtiment ajoute 40 kPa de contrainte verticale à mi-épaisseur. Trouvez le tassement de consolidation primaire S en mm.

H = 2,5 mC_c = 0,35C_r = 0,02e₀ = 1σ′₀ = 75 kPaσ′_p = 185 kPaΔσ = 40 kPa

S = mm

4.Tassement de consolidationDifficile

Une couche d’argile de 4,5 m d’épaisseur a un coefficient de consolidation c_v = 0,8 m²/an. Elle se trouve entre deux couches de sable ; l’eau s’évacue donc en haut et en bas. Pour un degré de consolidation moyen de 70 %, le facteur temps vaut T_v = 0,403. Combien d’années t faut-il à la couche pour atteindre 70 % de consolidation ?

H = 4,5 mc_v = 0,8 m²/annéeU = 70%T_v = 0,403double drainage

t = ans

5.Poussée hydrostatiqueMoyen

Une vanne rectangulaire verticale de 2 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 4 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 4 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

6.Poussée hydrostatiqueDifficile

Une vanne rectangulaire verticale de 2 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de huile, avec son bord supérieur à 2,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 2,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3Solutions

1.Contrainte effective dans les sols

Réponse: σ′ = 24,69 kPa

Contrainte effective (Terzaghi) : le squelette du sol porte σ′ = σ − u. La contrainte totale σ est le poids de tout ce qui se trouve au-dessus du point, Σγ·h, avec le poids volumique sec au-dessus de la nappe et le poids volumique saturé en dessous. Sous la nappe, la pression interstitielle est hydrostatique : u = γ_w·(profondeur sous la nappe).

Contrainte totale

Additionnez le poids de chaque couche de sol au-dessus de X. Au-dessus de la nappe, prenez le poids volumique sec ; en dessous, le saturé.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15,5·1 + 19·1 = 34,5 kPa

Pression interstitielle

La pression de l’eau croît avec la profondeur sous la nappe.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·1 = 9,81 kPa

Contrainte effective

σ′ = σ − u = 34,5 − 9,81 = 24,69 kPa

Réponse

σ′ = 24,69 kPa

2.Contrainte effective dans les sols

Réponse: u = 53,96 kPa

Pression interstitielle

La pression de l’eau croît avec la profondeur sous la nappe.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5,5 = 53,96 kPa

Réponse

u = 53,96 kPa

3.Tassement de consolidation

Réponse: S = 4,641 mm

Consolidation primaire d’une couche d’argile d’épaisseur H, avec la contrainte effective au milieu de la couche : σ′_f = σ′₀ + Δσ. Argile normalement consolidée : S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Une argile surconsolidée se recomprime selon C_r jusqu’à la pression de préconsolidation σ′_p et ne suit C_c qu’au-delà. Temps : t = T_v·H_dr²/c_v, où le chemin de drainage H_dr vaut H/2 lorsque l’eau peut s’évacuer en haut et en bas, et H lorsqu’une seule face est drainante.

Comparer avec la pression de préconsolidation

σ′_f = 75 + 40 = 115 kPa ≤ 185 kPa

Tassement

L’argile reste sur sa droite de recompression.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,02·2,5/(1 + 1)·log₁₀(115/75) = 4,641 mm

Réponse

S = 4,641 mm

4.Tassement de consolidation

Réponse: t = 2,55 ans

Chemin de drainage

H_dr = H/2 = 4,5/2 = 2,25 m

Durée

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,403·2,25²/0,8 = 2,55 ans

Réponse

t = 2,55 ans

5.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 88,29 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·2 = 88,29 kN

Réponse

F = 88,29 kN

6.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 51,8 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·3·2 = 51,8 kN

Réponse

F = 51,8 kN

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