Géotechnique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte effective dans les sols

Contrainte totale: σ = Σγ_i·h_i
Pression interstitielle: u = γ_w·(z − z_w)
Contrainte effective: σ′ = σ − u
Eau: γ_w = 9,81 kN/m³

Tassement de consolidation

Normalement consolidé: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Contrainte finale: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Surconsolidé, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Surconsolidé, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Rapport de surconsolidation: OCR = σ′_p/σ′₀
Temps de consolidation: t = T_v·H_dr²/c_v
Chemin de drainage: H_dr = H/2 (double drainage), H (drainage simple)
Facteurs temps: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Poussée hydrostatique

Pression à une profondeur: p = ρgh
Force sur une paroi verticale: F = ρg·h_c·A
Centre de poussée: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectangle: I_c = bH³/12

2Exercices

1.Contrainte effective dans les solsMoyen

Pour le profil de sol représenté, trouvez la contrainte verticale totale σ au point X.

z = 3 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³sable: γ_d = 16,5 kN/m³sable: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ = kPa

2.Contrainte effective dans les solsDifficile

Pour le profil de sol représenté, trouvez la pression interstitielle u au point X.

z = 8,5 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³sable: γ_d = 16,5 kN/m³sable: γ_sat = 19 kN/m³argile: γ_sat = 18,5 kN/m³

u = kPa

3.Tassement de consolidationMoyen

Une couche d’argile surconsolidée de 5,5 m d’épaisseur a C_c = 0,5, C_r = 0,03 et e₀ = 0,6. À mi-épaisseur, la contrainte verticale effective vaut 40 kPa et la pression de préconsolidation vaut 80 kPa. Un nouveau bâtiment ajoute 60 kPa de contrainte verticale à mi-épaisseur. Trouvez le tassement de consolidation primaire S en mm.

H = 5,5 mC_c = 0,5C_r = 0,03e₀ = 0,6σ′₀ = 40 kPaσ′_p = 80 kPaΔσ = 60 kPa

S = mm

4.Tassement de consolidationDifficile

Une couche d’argile de 5 m d’épaisseur a un coefficient de consolidation c_v = 0,8 m²/an. Elle repose sur une roche imperméable, avec du sable au-dessus ; l’eau ne s’évacue donc que par le haut. Pour un degré de consolidation moyen de 60 %, le facteur temps vaut T_v = 0,287. Combien d’années t faut-il à la couche pour atteindre 60 % de consolidation ?

H = 5 mc_v = 0,8 m²/annéeU = 60%T_v = 0,287drainage simple

t = ans

5.Poussée hydrostatiqueMoyen

Une vanne rectangulaire verticale de 3 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 2 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.

d = 2 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

6.Poussée hydrostatiqueDifficile

Une vanne rectangulaire verticale de 3 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau de mer, avec son bord supérieur à 4 m sous la surface. Trouvez la profondeur y_cp du centre de poussée sous la surface.

d = 4 mH = 3 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3Solutions

1.Contrainte effective dans les sols

Réponse: σ = 51,5 kPa

Contrainte effective (Terzaghi) : le squelette du sol porte σ′ = σ − u. La contrainte totale σ est le poids de tout ce qui se trouve au-dessus du point, Σγ·h, avec le poids volumique sec au-dessus de la nappe et le poids volumique saturé en dessous. Sous la nappe, la pression interstitielle est hydrostatique : u = γ_w·(profondeur sous la nappe).

Contrainte totale

Additionnez le poids de chaque couche de sol au-dessus de X. Au-dessus de la nappe, prenez le poids volumique sec ; en dessous, le saturé.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16,5·2 + 18,5·1 = 51,5 kPa

Réponse

σ = 51,5 kPa

2.Contrainte effective dans les sols

Réponse: u = 53,96 kPa

Pression interstitielle

La pression de l’eau croît avec la profondeur sous la nappe.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5,5 = 53,96 kPa

Réponse

u = 53,96 kPa

3.Tassement de consolidation

Réponse: S = 197,6 mm

Consolidation primaire d’une couche d’argile d’épaisseur H, avec la contrainte effective au milieu de la couche : σ′_f = σ′₀ + Δσ. Argile normalement consolidée : S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Une argile surconsolidée se recomprime selon C_r jusqu’à la pression de préconsolidation σ′_p et ne suit C_c qu’au-delà. Temps : t = T_v·H_dr²/c_v, où le chemin de drainage H_dr vaut H/2 lorsque l’eau peut s’évacuer en haut et en bas, et H lorsqu’une seule face est drainante.

Comparer avec la pression de préconsolidation

σ′_f = 40 + 60 = 100 kPa > 80 kPa

Tassement

Recompression jusqu’à σ′_p, compression vierge au-delà.

S = 0,03·5,5/(1 + 0,6)·log₁₀(80/40) + 0,5·5,5/(1 + 0,6)·log₁₀(100/80)

S = 31,04 + 166,6 = 197,6 mm

Réponse

S = 197,6 mm

4.Tassement de consolidation

Réponse: t = 8,969 ans

Chemin de drainage

H_dr = H = 5 m

Durée

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,287·5²/0,8 = 8,969 ans

Réponse

t = 8,969 ans

5.Poussée hydrostatique

Réponse: F = 239,1 kN

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·7,5 = 239,1 kN

Réponse

F = 239,1 kN

6.Poussée hydrostatique

Réponse: y_cp = 5,636 m

Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·y_c·A. Elle agit au centre de poussée, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), toujours situé sous le centre de gravité.

Profondeur du centre de gravité et aire

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Force résultante

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·5,5·9 = 497,7 kN

Centre de poussée

La pression augmente avec la profondeur, donc la résultante agit sous le centre de gravité.

I_c = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6,75 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 5,5 + 6,75/(5,5·9) = 5,636 m

Réponse

y_cp = 5,636 m

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