Conception de machines : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Engrenages et trains d’engrenages

Roues en prise: n₁·N₁ = n₂·N₂
Couple: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Puissance: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Train composé: rapport total = produit des rapports de chaque étage

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

Vibrations mécaniques

Fréquence propre: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
À partir de la flèche statique: ω_n = √(g/δ_st)
Amortissement critique: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Taux d’amortissement: ζ = c/c_c
Fréquence amortie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Décrément logarithmique: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Ressorts en parallèle: k = k₁ + k₂
Ressorts en série: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Exercices

1.Engrenages et trains d’engrenagesMoyen

Un moteur de 1,1 kW tournant à 1440 rpm entraîne un pignon de 18 dents, qui engrène avec une roue de 20 dents. Négligez les pertes. Trouvez le couple de sortie T₂ sur l’arbre de la roue.

P = 1,1 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 18N₂ = 20η = 100%

T₂ = N·m

2.Engrenages et trains d’engrenagesDifficile

Dans un train d’engrenages composé, la roue A (40 dents), sur l’arbre d’entrée qui tourne à 960 rpm, entraîne la roue B (80 dents). La roue C (72 dents) est solidaire du même arbre que B et entraîne la roue D (80 dents) sur l’arbre de sortie. Trouvez la vitesse de sortie n_out.

n_in = 960 rpmA = 40B = 80C = 72D = 80

n_out = rpm

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en aluminium est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 100 N·md = 40 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre creux doit transmettre 10 kW à 1500 tr/min. Son diamètre intérieur doit valoir 0,5 fois son diamètre extérieur, et la contrainte de cisaillement ne doit pas dépasser 75 MPa. Trouvez le plus petit diamètre extérieur d_o.

P = 10 kWN = 1500 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

Un point d’une plaque mince est en contraintes planes : σₓ = 140 MPa, σᵧ = 20 MPa et τₓᵧ = 20 MPa, avec σ_z = 0. Trouvez la contrainte de cisaillement maximale absolue τ_abs en ce point (en considérant tous les plans dans l’espace).

σ_x = 140 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 150 MPa, σᵧ = −40 MPa et τₓᵧ = −30 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte normale σ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 30° dans le sens horaire par rapport à l’axe x.

σ_x = 150 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −30 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

7.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez la déformation axiale ε dans la barre en aluminium, en microdéformations (µε = 10⁻⁶).

P = 100 kNd = 30 mmL = 3 mE = 70 GPa

ε = µε

8.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez la contrainte normale maximale σ_max dans la barre.

P = 15 kNtronçon 1 : Ø40 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)tronçon 2 : Ø12 mm, 2 m, laiton (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

9.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est encastré aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (acier)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

10.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est articulé aux deux extrémités. Il doit porter 145 kN avec un coefficient de sécurité de 2 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 145 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (acier)

d = mm

11.Vibrations mécaniquesMoyen

Une masse de 200 kg sur un ressort de raideur 80 kN/m est munie d’un amortisseur visqueux qui donne un taux d’amortissement de 0,45. Trouvez la fréquence propre amortie f_d de ses vibrations libres, en Hz.

m = 200 kgk = 80 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

12.Vibrations mécaniquesDifficile

Une masse de 25 kg est suspendue à deux ressorts reliés bout à bout (en série) : le ressort du haut a k₁ = 30 kN/m et celui du bas k₂ = 60 kN/m. Négligez l’amortissement et les masses des ressorts. Trouvez la fréquence propre f_n des vibrations verticales, en Hz.

m = 25 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 60 kN/m

f_n = Hz

3Solutions

1.Engrenages et trains d’engrenages

Réponse: T₂ = 8,105 N·m

Trains d’engrenages : des roues en prise ont la même vitesse au niveau des dents, donc n₁·N₁ = n₂·N₂ : la roue qui a le moins de dents tourne le plus vite. Des roues montées sur un même arbre tournent à la même vitesse. La puissance est transmise (aux pertes près), donc le couple augmente quand la vitesse diminue : T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, et P = T·ω avec ω = 2π·n/60.

Couple moteur

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1100/150,8 = 7,295 N·m

Couple de sortie

T₂ = 7,295·20/18·1 = 8,105 N·m

Réponse

T₂ = 8,105 N·m

2.Engrenages et trains d’engrenages

Réponse: n_out = 432 rpm

Premier étage

n_B = 960·40/80 = 480 rpm = n_C

Deuxième étage

n_out = 480·72/80 = 432 rpm

Réponse

n_out = 432 rpm

rapport total = 2,222 : 1

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 0,7015 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 100·1000·800/(26000·251327) = 0,01224 rad

φ = 0,01224·180/π = 0,7015°

Réponse

φ = 0,7015°

4.Torsion des arbres

Réponse: d_o = 16,64 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 10000/157,1 = 63,66 N·m

Diamètre extérieur à partir de la contrainte admissible

T = 63,66 N·m = 63662 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·63662/(π·75·0,9375)) = 16,64 mm

d_i = 0,5·16,64 = 8,322 mm

Réponse

d_o = 16,64 mm

Un arbre plein nécessiterait d = 16,29 mm ; l’arbre creux est un peu plus gros mais beaucoup plus léger.

5.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_abs = 71,62 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R. Dans l’espace, la contrainte de cisaillement maximale absolue vaut (σ_max − σ_min)/2 sur les trois contraintes principales ; en contraintes planes, la troisième est nulle.

Contraintes principales dans le plan

C = 80 MPa, R = √(60² + 20²) = 63,25 MPa

σ₁ = 143,2 MPa, σ₂ = 16,75 MPa, σ_z = 0

Le plus grand des trois cercles

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(126,5, 143,2, 16,75)/2 = 71,62 MPa

Réponse

τ_abs = 71,62 MPa

Ici, c’est le cercle hors plan qui est déterminant : le maximum absolu est supérieur au maximum dans le plan R.

6.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_θ = 128,5 MPa

Formule de changement de repère

σ_θ = 55 + 95·0,5 + −30·−0,866 = 128,5 MPa

Réponse

σ_θ = 128,5 MPa

7.Contrainte et déformation axiales

Réponse: ε = 2021 µε

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 100·1000/706,9 = 141,5 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 141,5/70000 = 0,002021 = 2021 µε

Réponse

ε = 2021 µε

8.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ_max = 132,6 MPa

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 11,94 MPa

σ₂ = 132,6 MPa

Contrainte maximale

Le tronçon le plus fin a la plus petite aire, donc il porte la plus grande contrainte.

σ_max = 132,6 MPa

Réponse

σ_max = 132,6 MPa

9.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 102,8 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/1000² = 102808 N = 102,8 kN

Réponse

P_cr = 102,8 kN

10.Flambement des poteaux

Réponse: d = 65,76 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 2·145000 = 290000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·290000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 65,76 mm

Réponse

d = 65,76 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 152,1, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

11.Vibrations mécaniques

Réponse: f_d = 2,843 Hz

Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ω_n = √(k/m) en rad/s, et f_n = ω_n/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/c_c, avec l’amortissement critique c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Fréquence propre non amortie

ω_n = √(80000/200) = 20 rad/s

f_n = 20/(2π) = 3,183 Hz

Fréquence propre amortie

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,183·√(1 − 0,45²) = 2,843 Hz

Réponse

f_d = 2,843 Hz

12.Vibrations mécaniques

Réponse: f_n = 4,502 Hz

Raideur équivalente

Des ressorts en série subissent la même force et leurs allongements s’additionnent ; ils se combinent donc par leurs inverses : 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/30 + 1/60 → k_eq = 30·60/(30 + 60) = 20 kN/m

Fréquence propre

ω_n = √(20000/25) = 28,28 rad/s

f_n = 28,28/(2π) = 4,502 Hz

Réponse

f_n = 4,502 Hz

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