Conception de machines : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Engrenages et trains d’engrenages

Roues en prise: n₁·N₁ = n₂·N₂
Couple: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Puissance: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Train composé: rapport total = produit des rapports de chaque étage

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

Vibrations mécaniques

Fréquence propre: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
À partir de la flèche statique: ω_n = √(g/δ_st)
Amortissement critique: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Taux d’amortissement: ζ = c/c_c
Fréquence amortie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Décrément logarithmique: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Ressorts en parallèle: k = k₁ + k₂
Ressorts en série: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Exercices

1.Engrenages et trains d’engrenagesMoyen

Un moteur de 1,5 kW tournant à 2900 rpm entraîne un pignon de 15 dents, qui engrène avec une roue de 50 dents. L’engrenage a un rendement de 96 %. Trouvez le couple de sortie T₂ sur l’arbre de la roue.

P = 1,5 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 15N₂ = 50η = 96%

T₂ = N·m

2.Engrenages et trains d’engrenagesDifficile

Dans un train d’engrenages composé, la roue A (24 dents), sur l’arbre d’entrée qui tourne à 1500 rpm, entraîne la roue B (32 dents). La roue C (15 dents) est solidaire du même arbre que B et entraîne la roue D (45 dents) sur l’arbre de sortie. Trouvez la vitesse de sortie n_out.

n_in = 1500 rpmA = 24B = 32C = 15D = 45

n_out = rpm

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en laiton est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 200 N·md = 40 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein en laiton transmet 10 kW à 500 tr/min. La contrainte de cisaillement ne doit pas dépasser 40 MPa et la torsion ne doit pas dépasser 1° par m de longueur. Trouvez le plus petit diamètre d qui respecte les deux limites.

P = 10 kWN = 500 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 1°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = −40 MPa, σᵧ = −10 MPa et τₓᵧ = −20 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement maximale dans le plan τ_max.

σ_x = −40 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −20 MPa

τ_max = MPa

6.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

Un arbre plein de diamètre 30 mm supporte un effort de compression axial de 200 kN ainsi qu’un couple de 200 N·m. À la surface de l’arbre, trouvez la plus grande contrainte principale σ₁.

d = 30 mmF = −200 kNT = 200 N·m

σ₁ = MPa

7.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez la déformation axiale ε dans la barre en laiton, en microdéformations (µε = 10⁻⁶).

P = 100 kNd = 25 mmL = 2 mE = 100 GPa

ε = µε

8.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez l’allongement total δ.

P = 110 kNtronçon 1 : Ø30 mm, 1,5 m, cuivre (E = 117 GPa)tronçon 2 : Ø16 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

9.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 20 mm

P_cr = kN

10.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est encastré aux deux extrémités. Il doit porter 150 kN avec un coefficient de sécurité de 3 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 150 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (acier)

d = mm

11.Vibrations mécaniquesMoyen

Une masse de 25 kg est portée par un ressort de raideur 20 kN/m et un amortisseur visqueux de coefficient d’amortissement 280 N·s/m. Trouvez le taux d’amortissement ζ.

m = 25 kgk = 20 kN/mc = 280 N·s/m

ζ =

12.Vibrations mécaniquesDifficile

Une masse de 40 kg est suspendue au ressort k₃ = 40 kN/m. Le haut de k₃ est fixé à une barre rigide suspendue à deux ressorts côte à côte, k₁ = 30 kN/m et k₂ = 60 kN/m ; la barre reste horizontale. Négligez l’amortissement et les masses des ressorts et de la barre. Trouvez la fréquence propre f_n des vibrations verticales, en Hz.

m = 40 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Solutions

1.Engrenages et trains d’engrenages

Réponse: T₂ = 15,81 N·m

Trains d’engrenages : des roues en prise ont la même vitesse au niveau des dents, donc n₁·N₁ = n₂·N₂ : la roue qui a le moins de dents tourne le plus vite. Des roues montées sur un même arbre tournent à la même vitesse. La puissance est transmise (aux pertes près), donc le couple augmente quand la vitesse diminue : T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, et P = T·ω avec ω = 2π·n/60.

Couple moteur

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/303,7 = 4,939 N·m

Couple de sortie

T₂ = 4,939·50/15·0,96 = 15,81 N·m

Réponse

T₂ = 15,81 N·m

2.Engrenages et trains d’engrenages

Réponse: n_out = 375 rpm

Premier étage

n_B = 1500·24/32 = 1125 rpm = n_C

Deuxième étage

n_out = 1125·15/45 = 375 rpm

Réponse

n_out = 375 rpm

rapport total = 4 : 1

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 0,5845 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 200·1000·500/(39000·251327) = 0,0102 rad

φ = 0,0102·180/π = 0,5845°

Réponse

φ = 0,5845°

4.Torsion des arbres

Réponse: d = 41,12 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 10000/52,36 = 191 N·m

Diamètre pour la résistance

T = 191 N·m = 190986 N·mm

d_τ = ∛(16·190986/(π·40)) = 28,97 mm

Diamètre pour la rigidité

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·190986/(π·39000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 41,12 mm

Diamètre déterminant

Les deux limites doivent être respectées, donc c’est le plus grand diamètre qui est déterminant.

d = max(28,97, 41,12) = 41,12 mm

Réponse

d = 41,12 mm

Ici, c’est la rigidité qui est déterminante.

5.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_max = 25 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Rayon du cercle de Mohr

τ_max = R = √(((−40 − −10)/2)² + −20²) = 25 MPa

Réponse

τ_max = 25 MPa

6.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ₁ = 4,944 MPa

Contraintes à la surface

σ = F/A = −200000/(π·30²/4) = −200000/706,9 = −282,9 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·200000/(π·30³) = 37,73 MPa

Cercle de Mohr

C = σ/2 = −141,5 MPa

R = √((−141,5)² + 37,73²) = 146,4 MPa

σ₁ = C + R = 4,944 MPa

σ₂ = C − R = −287,9 MPa

Réponse

σ₁ = 4,944 MPa

7.Contrainte et déformation axiales

Réponse: ε = 2037 µε

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 100·1000/490,9 = 203,7 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for laiton = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 203,7/100000 = 0,002037 = 2037 µε

Réponse

ε = 2037 µε

8.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 17,63 mm

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 155,6 MPa

σ₂ = 547,1 MPa

Additionner les allongements des tronçons

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 155,6·1500/117000 = 1,995 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 547,1·2000/70000 = 15,63 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 17,63 mm

Réponse

δ = 17,63 mm

9.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 21,7 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,5·1000 = 500 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/500² = 21704 N = 21,7 kN

Réponse

P_cr = 21,7 kN

10.Flambement des poteaux

Réponse: d = 80,41 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 3·150000 = 450000 N

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·450000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 80,41 mm

Réponse

d = 80,41 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 149,2, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

11.Vibrations mécaniques

Réponse: ζ = 0,198

Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ω_n = √(k/m) en rad/s, et f_n = ω_n/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/c_c, avec l’amortissement critique c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Amortissement critique

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(20000·25) = 1414 N·s/m

Taux d’amortissement

ζ = c/c_c = 280/1414 = 0,198

Réponse

ζ = 0,198

ζ < 1 : le système est sous-amorti et oscille en s’amortissant.

12.Vibrations mécaniques

Réponse: f_n = 4,188 Hz

Raideur équivalente

Seuls k₁ et k₂ sont en parallèle. Cette paire est en série avec k₃ ; combinez-les donc par leurs inverses.

k₁₂ = 30 + 60 = 90 kN/m

k_eq = 90·40/(90 + 40) = 27,69 kN/m

Fréquence propre

ω_n = √(27692/40) = 26,31 rad/s

f_n = 26,31/(2π) = 4,188 Hz

Réponse

f_n = 4,188 Hz

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